【正文】 從而 bn+1bn=2n. bn=(bnbn1)+(bn1bn2)+ +（ b2b1） +b1 =2n1+2n2+ +2+1 ＝ 2121??n =2n1. 因?yàn)?bn bn+2b21?n =(2n1)(2n+21)(2n11)2 =(22n+22n+22n+1)(22n+222n+11) =5 2n+4 2n =2n＜ 0, 所以 bn bn+2＜ b21?n , 解 法二： （Ⅰ）同解法一 . （Ⅱ）因?yàn)?b2=1, bn bn+2 b21?n =(bn+12n)(bn+1+2n+1) b21?n =2n+1 bn12n bn+12n 2n+1 ＝ 2n（ bn+12n+1） =2n（ bn+2n2n+1） =2n（ bn2n） =? =2n（ b12） =2n〈 0， 所以 bnbn+2b2n+1 4． （廣東 21） （本小題滿(mǎn)分 14 分） 設(shè)數(shù)列 {an}滿(mǎn)足 a1=1,a2=2,an=13 (an1+2an2)(n=3,4,? )，數(shù)列 {bn}滿(mǎn)足 b1=1,bn(n=2,3,? )是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù) m 和自然數(shù) k，都有 1? bm+bm+1+? +bm+1? 1. （ 1） 求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項(xiàng)公式； (2) 記 =nanbn(n=1,2,? )，求數(shù)列 {}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 解：（ 1）由121 ()3n n na a a????得 1 1 22 ()3n n n na a a a? ? ?? ? ? ? ( 3)n? 又 2110aa? ? ? ， ?數(shù)列 ? ?1nnaa? ? 是首項(xiàng)為 1 公比為 23? 的等比數(shù)列， 11 23nnnaa?? ??? ? ????? 1 2 1 3 2 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 2 2113 3 3n ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11218 3 2312 5 5 313nn????????????? ? ? ? ??????， 由 122221111,0bbbb Z b? ? ? ???? ? ?????? 得 2 1b?? ，由 233331111,0bbbb Z b? ? ? ???? ? ?????? 得 31b? ，? 同理可得 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 1nb?? ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 1nb? ； 因此 11nb ???? （ 2）118 3 25 5 38 3 25 5 3nn n n nnnc na bnn??? ??????? ? ??? ?????? ?????? 1 2 3 4nnS c c c c c? ? ? ? ? ? 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 0 1 2 3 18 8 8 8 8( 2 3 4 )5 5 5 5 53 2 2 2 2 21 2 3 45 3 3 3 3 3nnSnn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 ? ? 0 1 2 3 141 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3 nn n ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 0 1 2 3 18 8 8 8 8( 2 3 4 )5 5 5 5 53 2 2 2 2 21 2 3 45 3 3 3 3 3nnSnn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0 1 2 3 14 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3nn n ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 令 0 1 2 3 12 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3nnTn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??① ① 23 得 : 1 2 3 42 2 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3 3 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??② ① ②得 : 1 2 3 4 11 2 2 2 2 2 213 3 3 3 3 3 3nnnTn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21223 332 3313nnnnn??? ??? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 29 9 33nnTn??? ? ? ???? 因此? ?? ?934 23 25 5 3934 27 25 5 3nn nnnSnn? ?? ???? ??? ? ?? ??? ??? ????? ??? 5． （江蘇 19）（ 16 分） （ 1）設(shè) naaa ,......, 21 是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（ 4?n ），且公差 0?d ，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得 到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列： ① 當(dāng) 4?n 時(shí)，求 da1 的數(shù)值； ② 求 n 的所有可能值； （ 2）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù) )4( ?nn ，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列nbbb ,......, 21 ，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列。 【解析】：本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用。 （ 1） ①當(dāng) n=4時(shí) , 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出 d=0。 若刪去 2a ，則 23 1 4a a a?? ，即 21 1 1( 2 ) ( 3 )a d a a d? ? ? ?化簡(jiǎn)得 1 40ad??，得 1 4ad ?? 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 若刪去 3a ，則 22 1 4a a a?? ，即 21 1 1( ) ( 3 )a d a a d? ? ? ?化簡(jiǎn)得 1 0ad?? ，得 1 1ad? 綜上，得 1 4ad?? 或 1 1ad? 。 ②當(dāng) n=5時(shí) , 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同樣不可能刪去 1 2 4 5,a a a a ，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。 若刪去 3a ，則 1 5 2 4a a a a? ? ? ，即 1 1 1 1( 4 ) ( ) ( 3 )a a d a d a d? ? ? ? ?化簡(jiǎn)得 230d ? ，因?yàn)?0?d ，所以 3a 不能刪去； 當(dāng) n≥ 6 時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列 1 2 3 2 1, , , , , ,n n na a a a a a??中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去 2a ，則必有 1 3 2nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾；同樣若刪去 1na? 也有 1 3 2nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾；若刪去 32,naa? 中任意一個(gè)，則必有1 2 1nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾。 (或者說(shuō)：當(dāng) n≥ 6 時(shí)，無(wú)論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng) ) 綜上所述， 4n? 。 （ 2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù) n，存在一個(gè)公差為 d 的 n 項(xiàng)等差數(shù)列 nbbb ,......, 21 ，其中1 1 1,x y zb b b? ? ? （ 01x y z n? ? ? ? ?）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則 2 1 1 1y x zb b b? ? ???，即21 1 1( ) ( ) ( )b y d b x d b z d? ? ? ? ?，化簡(jiǎn)得 22 1( ) ( 2 )y x z d x z y b d? ? ? ? （ *） 由 1 0bd? 知， 2y xz? 與 2x z y?? 同時(shí)為 0 或同時(shí)不為 0 當(dāng) 2y xz? 與 2x z y?? 同時(shí)為 0 時(shí)，有 x y z??與題設(shè)矛盾。 故 2y xz? 與 2x z y?? 同時(shí)不為 0，所以由（ *）得 212b y xzd x z y?? ?? 因?yàn)?01x y z n? ? ? ? ?，且 x、 y、 z 為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而 1bd 為有理數(shù)。 于是，對(duì)于任意的正整數(shù) )4( ?nn ，只要 1bd 為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿(mǎn)足題意要求的數(shù)列。 例如 n 項(xiàng)數(shù)列 1， 12? ， 1 22? ，??， 1 ( 1) 2n?? 滿(mǎn)足要求。 6． （江西 19）