【正文】 海南）等差數(shù)列{ na}前 n項和為 nS。已知 1ma?+ ? 2m=0， 21S?=38,則 m=_______解析：由 1ma?+ ? 2m=0得到 ????122210, 13810mmaSa????????又。答案 1015.（2022 陜西）設(shè)等差數(shù)列 ??n的前 n項和為 ns,若 632s,則 n . . 答案:2n解析:由 6312as?可得 na的公差 d=2,首項 1a=2,故易得 n?2n.16.(2022陜西)設(shè)等差數(shù)列 的前 n項和為 nS,若 632,則 2limnS?? .答案：1 611 22325211()lilinnnadas ?????????????????解 析 ：17.（2022 寧夏海南）等比數(shù)列{ n}的公比 0q?, 已知 2a=1， 216nna?，則{ n}的前 4項和4S= . 【答案】 152. .. . ..學(xué)習(xí)參考【解析】由 216nnaa??得： 116???nq，即 062??q， ?，解得：q＝2，又2=1，所以， 1， 2)(44?S＝ 5。18.(2022湖南)將正⊿ABC 分割成 n（ ≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖 2，圖 3分別給出了 n=2,3的情形） ，在每個三角形的頂點(diǎn)各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC 的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于 3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn) A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為 1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為 f(n)，則有 f(2)=2，f(3)= 103，…，f(n)= 16(n+1)(n+2) . 【答案】： 10,()236n??【解析】當(dāng) n=3時，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知121212,abcxabycza????12 212()xyzgxyzy???12126gc . 即 12120(3) 3fabcxyz??而進(jìn)一步可求得 45。由上知 ()f中有三個數(shù)， ()f中 有 6個數(shù)， ()f中共有 10個數(shù)相加 ，()f中有 15個數(shù)相加 ….，若 n?中有 1na??個數(shù)相加，可得 n中有 1)na??個數(shù)相加，且由 3633045(1),(2)(),()(2),()(3),.3fffffff??????可得 1,nn?所以 1())(2). (1)33nnf f f?= 11()36????. .. . ..學(xué)習(xí)參考19.（2022 重慶）設(shè) 12a?， 1na?， 21nab???， *N?，則數(shù)列 ??nb的通項公式 nb= ． . 【答案】: 12n?【解析】由條件得 11221nnnnaabb??????且 14?所以數(shù)列 ??nb是首項為 4，公比為 2的等比數(shù)列，則 142n??三、解答題1.(2022年廣東)（本小題滿分 14分）已知點(diǎn)（1， 3）是函數(shù) ,0()??axf且 1?）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列 }{na的前 項和為 f?)(,數(shù)列 }{nb)0(?的首項為 c，且前 n項和 nS滿足 － 1?n= S+ 1?n（ 2?）.（1）求數(shù)列 na和 }{b的通項公式；（2）若數(shù)列{ 1?n前 項和為 nT，問 209的最小正整數(shù) n是多少? . 【解析】 （1） ??3fa?Q, ??13xf???????? 11afc? , ??2fcfc?????????29??, ????3 7f???? .又?jǐn)?shù)列 ??na成等比數(shù)列，2134183ac??? ，所以 1?；又公比 213qa?，所以12nnn????????????? *N? ；??111nnnnSSSS???????Q ??2?又 0b?, , ?；數(shù)列 ??n構(gòu)成一個首相為 1公差為 1的等差數(shù)列， ??nn?? ， 2S當(dāng) 2?， ??22nSn???? ；. .. . ..學(xué)習(xí)參考21nb???( *N?)；（2） 12341nTbb??L ??11357(2)n??????K 52721n????????????????????????????K 12n????????； 由 1029nT??得 0n，滿足 09nT?的最小正整數(shù)為 112.2.（2022 全國卷Ⅰ） （本小題滿分 12分） （注意：在試題卷上作答無效）在數(shù)列 {}na中， 111,()2nna??? （I）設(shè) b，求數(shù)列 {}b的通項公式 （II）求數(shù)列 n的前 項和 nS分析：（I）由已知有 12a??12nb???? 利用累差迭加即可求出數(shù)列 {}n的通項公式: 1n?( *N?)（II）由（I）知 1na?,?nS= 11(2)kk???1(2)nk???而 1())k??,又 1nk??是一個典型的錯位相減法模型，易得 11242nkn??? ?nS= ()?124n?評析：09 年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求前 n項和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。3.（2022 浙江） （本題滿分 14分）設(shè) nS為數(shù)列 {}na的前 項和， 2nSk??， *nN?，其中 k是常數(shù)． （I） 求 1a及 n； （II）若對于任意的 *mN?， ma， 2， 4m成等比數(shù)列，求 k的值．解析：（Ⅰ）當(dāng) 1,1??kS， 12)]1()([,222 ??????? nnann （ ?）. .. . ..學(xué)習(xí)參考 經(jīng)驗， ,1?n（ ?）式成立， 12????kna （Ⅱ） ma42?成等比數(shù)列， m4.，即 )18)(()4( ????kkk，整理得： 0)(?，對任意的 ??N成立， 0?或4.（2022 北京） （本小題共 13分）設(shè)數(shù)列 {}na的通項公式為 (,)napqNP????. 數(shù)列 {}nb定義如下：對于正整數(shù) m， b是使得不等式 m?成立的所有 n中的最小值.（Ⅰ）若 1,23pq??，求 b；（Ⅱ）若 ，求數(shù)列 {}m的前 2m項和公式；（Ⅲ）是否存在 p和 q，使得 ()N????？如果存在，求 p和 q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.（Ⅰ）由題意，得 123na??，解 13n?，得 20n. . ∴ ?成立的所有 n中的最小整數(shù)為 7，即 3b?. （Ⅱ）由題意，得 1n，對于正整數(shù)，由 nam，得 2?.根據(jù) b的定義可知當(dāng) 1k??時， ??*mkN??；當(dāng) 2k?時， ??*1mbkN??.∴ ?12213142mb????? ? ? ????3????? ? ?22????.（Ⅲ）假設(shè)存在 p和 q滿足條件，由不等式 pnqm?及 0p?得 qnp??.∵ 32()mbN????,根據(jù) b的定義可知，對于任意的正整數(shù) m 都有. .. . ..學(xué)習(xí)參考3132mqp?????，即 ??31pqmpq????對任意的正整數(shù) m都成立. 當(dāng) 0?（或 10?）時，得 ?（或 231pq???） ， 這與上述結(jié)論矛盾！ 當(dāng) 31p??，即 3p時，得 213q????，解得 ?. ∴ 存在 p和 q，使得 ()mbN????；p和 q的取值范圍分別是 ， . . 5.（2022 北京） （本小題共 13分） 已知數(shù)集 ????1212, ,nnAaa????? ? 具有性質(zhì) P；對任意的??,1ijijn?， ij與 ji兩數(shù)中至少有一個屬于 A.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集 1,34與 ,26是否具有性質(zhì) ，并說明理由；（Ⅱ）證明： 1a?，且 112naa?????? ；（Ⅲ）證明：當(dāng) 5n時， 1345,成等比數(shù)列.【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（Ⅰ）由于 34?與 均不屬于數(shù)集 ??,，∴該數(shù)集不具有性質(zhì) P. 由于 6123612,?都屬于數(shù)集 ??1,236， ∴該數(shù)集具有性質(zhì) P. （Ⅱ）∵ ??12,nAa?? 具有性質(zhì) P，∴ na與 中至少有一個屬于 A，由于 12n??? ，∴ n?，故 n?. . 從而 na??，∴ 1?.∵ 12n?? ， ∴ kna?，故 ??2,3knaAn?? . 由 A具有性質(zhì) P可知 ??1,23,kA?? .. .. . ..學(xué)習(xí)參考又∵ 121nnaa???? ，∴ 211,nnna????? ，從而 12112nnnaa?????? ? ，∴ 211n??? . . （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng) 5時，有 55234,a?，即 2543a?， ∵ 125aa??? ，∴ 3425?，∴ 34A?，由 A具有性質(zhì) P可知 43A?. 243a?，得 43a，且 321a??，∴ 342a?，∴ 54231，即 12345,是首項為 1，公比為 2a成等比數(shù)列...6.（2022 江蘇） （本小題滿分 14分） 設(shè) ??na是公差不為零的等差數(shù)列， nS為其前 項和，滿足 223457,aS??。（1）求數(shù)列 n的通項公式及前 項和 ； （2）試求所有的正整數(shù) m，使得 12ma?為數(shù)列 ??n中的項。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分 14分。（1）設(shè)公差為 d，則 2543??，由性質(zhì)得 4343()()daa???，因為 0d?，所以 430a??，即 10a?，又由 7S得 1672?，解得 15?， 2?,(2) （方法一）12ma?= ()253?,設(shè) 3mt??， 則 12ma?= (4)86tt??, 所以 t為 8的約數(shù). .. . ..學(xué)習(xí)參考（方法二）因為 12222 2(4)()86mmmaaa????????為數(shù)列 ??n中的項，故 m+28 a為整數(shù)，又由（1）知： 2?為奇數(shù)，所以 31,2m??即經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有 ?。. 7.（2022 江蘇） （本題滿分 10分）對于正整數(shù) n≥2，用 nT表示關(guān)于 x的一元二次方程 20xab??有實數(shù)根的有序數(shù)組 (,)ab的組數(shù)，其中 ??,12,ab?? （ a和 b可以相等） ；對于隨機(jī)選取的 ??,12,n?? （ 和 可以相等） ，記nP為關(guān)于 x的一元二次方程 20??有實數(shù)根的概率。（1）求 2和 2n；（2）求證：對任意正整數(shù) ≥2，有 1nP??.【解析】 [必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分 10分。 . . .. . ..學(xué)習(xí)參考8.(2022山東)（本小題滿分 12分）等比數(shù)列{ na}的前 n項和為 nS， 已知對任意的 nN?? ，點(diǎn) (,)nS，均在函數(shù) (0xybr???且1,br?均為常數(shù))的圖像上.（1）求 r的值； （11）當(dāng) b=2時，記 2(log1)(nnba?? . 證明：對任意的 N?? ，不等式 211nb?成立解:因為對任意的 n,點(diǎn) ()nS，均在函數(shù) (0xyr??且 1,br???,當(dāng) 1時, 1abr??,當(dāng) 2?時,11()()nnnnnarb