【導(dǎo)讀】確決策的系統(tǒng)方法。時(shí)間序列的組成要素。消費(fèi)者信心指數(shù)不僅僅是消費(fèi)信心的反映，在某種程度上反。一些國家都把消費(fèi)者信心指數(shù)作為經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的一項(xiàng)預(yù)警指標(biāo)。國家統(tǒng)計(jì)局定期公布這類數(shù)據(jù)。下表是國家統(tǒng)計(jì)局公布的2020年7月至2020年8月我國的消。怎樣預(yù)測下個(gè)月的消費(fèi)者信心指數(shù)呢？首先需要弄清楚它在。找出其變化的模式。如果預(yù)期過去的變化模式在未來的一段。本章介紹的內(nèi)容就是有關(guān)時(shí)間序列的預(yù)測問題。持續(xù)向上或持續(xù)向下的變動(dòng)。非固定長度的周期性變動(dòng)。除去趨勢、季節(jié)變動(dòng)和周期波動(dòng)之后的隨機(jī)波動(dòng)稱。只含有隨機(jī)波動(dòng)而不存在趨勢的序列也稱為平穩(wěn)序

　　

【正文】 BoxJenkins方法的基本思想 (與經(jīng)典回歸模型的區(qū)別 ) 1. 經(jīng)典的回歸預(yù)測是通過解釋變量 (自變量 )來預(yù)測被解釋變量 (因變量 )的一種模型 。 用回歸模型進(jìn)行預(yù)測時(shí) ， 預(yù)測者需要事先知道有哪些因素影響 (自變量 )影響被預(yù)測變量 (因變量 )。 但現(xiàn)實(shí)中我們通常不知道影響預(yù)測變量的因素有哪些 ， 這時(shí) ARIMA模型就是一個(gè)很好的選擇 2. 假定時(shí)間序列數(shù)據(jù)產(chǎn)生于一個(gè)黑盒子 (black box)， 即 回歸預(yù)測方法是試圖尋找自變量來預(yù)測觀測到的時(shí)間序列 ， 即 黑盒子 觀測到的時(shí)間序列 ? 解釋變量 (自變量 ) ? 黑盒子 (回歸模型 ) 觀測到的時(shí)間序列 ? 11 117 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 BoxJenkins方法的基本思想 ? ARIMA該模型是利用時(shí)間序列過去的觀測值來進(jìn)行預(yù)測的一種方法 ， 它不需要解釋變量而 BoxJenkins方法并不是從解釋變量入手 ， 而是從觀測值入手 ， 然后試圖去尋找正確的黑盒子 。 它可以從某一白噪聲 (white noise)序列產(chǎn)生出所觀察到的時(shí)間序列 ， 即 由于在模型中沒有用到解釋變量，所以我們假設(shè)所觀察的時(shí)間序列從白噪聲序列開始，經(jīng)過黑盒子后變成要預(yù)測的時(shí)間序列。這里的白噪聲序列實(shí)際上就是一系列的純隨即數(shù)字，其特點(diǎn)是相鄰的觀測值之間沒有聯(lián)系；以前的觀測值對預(yù)測未來的觀測值沒有作用 白噪聲序列 ? 黑盒子 觀測到的時(shí)間序列 ? 11 118 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 BoxJenkins方法的基本思想 1. BoxJenkins方法是通過對時(shí)間序列實(shí)際觀測值特征的分析來確定選擇什么樣的黑盒子將實(shí)際序列轉(zhuǎn)化成白噪聲序列 2. 開始時(shí)選擇一個(gè)最可能的黑盒子 ， 如果得到白噪聲序列 ，就認(rèn)為這是一個(gè)正確的模型 ， 可以用它來進(jìn)行預(yù)測 。 如果沒有得到白噪聲序列 ， 就再嘗試另一個(gè)黑盒子 ， 直到得到白噪聲序列為止 。 這里的黑盒子就是我們要尋找的模型 3. 由于實(shí)際中我們面對的是一個(gè)觀察到的時(shí)間序列 ， 把上述過程反過來看 ， 如果我們讓一個(gè)實(shí)際觀測到的時(shí)間序列通過由我們所選擇的模型這個(gè)黑盒子 ， 若所選擇的模型是正確的 ， 那么得到的預(yù)測誤差就應(yīng)該是一個(gè)白噪聲序列 ARIMA模型的識別 BoxJenkins方法： ARIMA模型 11 120 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (AR模型 ) ? 自回歸 (autoregression)模型 ， 簡稱 AR模型 ， 是利用觀測值 Yt與以前時(shí)期的觀測值之間的關(guān)系來預(yù)測值 Y的一種多元回歸方法 。 P階 AR模型為： tptpttt eYYYY ????? ??? ??? ?221111 121 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (AR模型的識別 ) 1. AR模型意為著時(shí)間序列的任意一個(gè)觀測值都是由以前的 p個(gè)觀測值的線性組合加上隨機(jī)誤差 et 2. 如果一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列與 AR模型相似 ， 我們就可以用 AR模型進(jìn)行預(yù)測 3. 對于實(shí)際的時(shí)間序列 ， 怎樣判斷它是否與 AR模型相似呢 ？ 或者說 ， 我們怎樣檢驗(yàn)一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列是否是 AR序列呢 ？ 4. 通常的辦法是觀察時(shí)間序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖 11 122 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (AR模型的識別 ) ? AR序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖具有的典型特征 1. 自相關(guān)圖 單調(diào)遞減逐步降為 0或交替遞減逐步降為 0， 而它的 偏自相關(guān)圖 則具有明顯的峰值 2. 如果一個(gè)序列的偏自相關(guān)圖 只有一個(gè)明顯的峰值 ， 也就是在p=1后就變得很小 ， 而且沒有什么特別的模式 ， 這樣的圖形稱為在 p=1后 截尾 ， 而它的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出指數(shù)衰減或正弦衰減 ， 呈現(xiàn)出 拖尾 ， 那它就是一個(gè) AR(1)序列 3. 如果 偏自相關(guān)函數(shù) 有 兩個(gè)明顯的峰值 ， 也就是在 p=2后截尾 ，而它的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出指數(shù)衰減或正弦衰減 ， 呈現(xiàn)出 拖尾 ，它就是一個(gè) AR(2)序列 4. 如果它的偏自相關(guān)函數(shù)有個(gè)明顯的峰值 ， 也就是在個(gè)值后 截尾 ，而它的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出指數(shù)衰減或正弦衰減 ， 呈現(xiàn)出 拖尾 ，它就是一個(gè) AR(p)序列 。 這時(shí) ， 就可以將該序列識別為一個(gè) AR序列 ， 進(jìn)而用 AR模型進(jìn)行預(yù)測 11 123 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (AR模型的識別 ) ? AR模型的識別 — 一個(gè)白噪聲序列生產(chǎn)的 AR(1)序列 一個(gè)峰值 自相關(guān)圖 偏自相關(guān)圖 11 124 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MA模型 ) ? 移動(dòng)平均 (moving average)模型 ， 簡稱 MA模型 ，是利用觀測值 Yt作為因變量 ， 預(yù)測 Yt時(shí)產(chǎn)生的預(yù)測誤差作為自變量 。 q階 MA模型為： qtqtttt eeeeY ??? ????? ??? ?221111 125 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MA模型的識別 ) 1. MA模型意為著時(shí)間序列的任意一個(gè)觀測值都是由目前的和以前的 q個(gè)隨機(jī)誤差的線性組合 2. 如果一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列與 MA模型相似 ， 我們就可以用 MA模型進(jìn)行預(yù)測 3. 對于實(shí)際的時(shí)間序列 ， 我們怎樣判斷它是否與 MA模型相似呢 ？ 或者說 ， 我們怎樣檢驗(yàn)一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列是否是 MA序列呢 ？ 4. 通常的辦法仍然是觀察時(shí)間序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖 11 126 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MA模型的識別 ) ? MA序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖具有的典型特征 1. 自相關(guān)圖 則具有明顯的峰值 ， 而它的 偏自相關(guān)圖 單調(diào)遞減逐步降為 0或交替遞減逐步降為 0， 2. 如果一個(gè)序列的自相關(guān)圖 只有一個(gè)明顯的峰值 ， 也就是在 q=1后就變得很小 ， 而且沒有什么特別的模式 ， 這樣的圖形稱為在 q=1后 截尾 ，而它的偏自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出指數(shù)衰減或正弦衰減 ， 呈現(xiàn)出 拖尾 ， 那它就是一個(gè) MA(1)序列 3. 如果 偏自相關(guān)函數(shù) 有 兩個(gè)明顯的峰值 ， 也就是在 q=2后截尾 ， 而它的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出指數(shù)衰減或正弦衰減 ， 呈現(xiàn)出 拖尾 ， 它就是一個(gè)MA(2)序列 4. 如果它的偏自相關(guān)函數(shù)有個(gè)明顯的峰值 ， 也就是在個(gè)值后 截尾 ， 而它的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出指數(shù)衰減或正弦衰減 ， 呈現(xiàn)出 拖尾 ， 它就是一個(gè)MA(q)序列 。 這時(shí) ， 就可以將該序列識別為一個(gè) MA序列 ， 進(jìn)而用 MA模型進(jìn)行預(yù)測 11 127 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MA模型的識別 ) ? MA模型的識別 — 一個(gè)白噪聲序列生產(chǎn)的 MA(1)序列 一個(gè)峰值 自相關(guān)圖 偏自相關(guān)圖 11 128 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (ARMA模型 ) ? 自回歸移動(dòng)平均 (autoregressionmoving average)模型 ，簡稱 ARMA模型 ， 是 ARMA模型是由 AR(p)模型和MA(q)模型混合而成的 ARMA(p,q) qtqtttptpttt eeeeYYYY ?????? ????????? ?????? ?? 22112211AR(p)模型 MA(q)模型 + 11 129 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (ARMA模型的識別 ) ? ARMA序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖具有的典型特征 1. 自相關(guān)圖 和 偏自相關(guān)圖 都是逐漸趨于 0而不是突然變?yōu)?0， 或者說自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖都 拖尾 2. 為了確定模型的階數(shù) ， 需要計(jì)算 AR項(xiàng)中偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為 0的項(xiàng) ， 以及 MA項(xiàng)中自相關(guān)系數(shù)顯著不為 0的項(xiàng) 。 如果 AR的偏自相關(guān)系數(shù)有 1項(xiàng)顯著不為 0， MA的自相關(guān)系數(shù)有 1項(xiàng)顯著不為 0， 那這就是一個(gè) ARMA(1， 1)模型 11 130 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (ARIMA模型 ) 1. 使用 ARMA模型進(jìn)行預(yù)測時(shí) ， 要求時(shí)間序列必須是平穩(wěn)的 ，即時(shí)間序列中沒有趨勢 、 季節(jié)和循環(huán)成分 ， 其觀測值的平均數(shù)不隨時(shí)間的變化而變化 2. 現(xiàn)實(shí)中的很多序列都是非平穩(wěn)的 ， 其自相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)是：開始通常顯著不為 0， 然后逐漸趨于 0， 或者在自相關(guān)圖中呈現(xiàn)出一種 偽模式 (spurious pattern)。 這時(shí)使用自相關(guān)圖或偏自相關(guān)圖來識別模型就可能產(chǎn)生誤判 3. 對于非平穩(wěn)序列 ， 在選擇模型之前需要對其進(jìn)行修正時(shí)期平穩(wěn)化 。 消 除非平 穩(wěn)性的辦 法之一 就是進(jìn)行 差分(difference)， 也就是將時(shí)間序列中的每期觀測值減去其前面的觀測值 ， 這稱為一階差分 (first difference) 1???? ttt YYY如果原始序列中存在一個(gè)斜率不變的趨勢，經(jīng)過差分后就可以消除趨勢成分。如果一階差分不能消除趨勢，就需要進(jìn)行多次差分。比如，在一階差分的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次差分，就是二階差分，等等。如果差分后的序列是平穩(wěn)的，那么它的自相關(guān)系數(shù)在 k=2或 k=3后則會落入隨機(jī)區(qū)間，并逐漸趨于 0 11 131 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MAIMA模型 ) ? 人均 GDP序列一階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖 自相關(guān)圖 偏自相關(guān)圖 自相關(guān)圖在 k=2后出現(xiàn)出隨機(jī)波動(dòng)，經(jīng)一階差分后的人均 GDP序列已上不存在趨勢 11 132 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MAIMA模型 ) 1. 經(jīng)過差分將序列變成平穩(wěn)后 ， 通常將模型稱為ARIMA(p,d,q)模型 ? 其中 “ I”的加入代表整合項(xiàng) (integrated)或差分項(xiàng) ? d表示差分的階數(shù) ? p表示自回歸 (AR)的項(xiàng)數(shù) ? q表示移動(dòng)平均 (MA)的項(xiàng)數(shù) 2. 如果模型為 ARIMA(p， 0， 0)， 就是階自回歸模型AR(p)；如果模型為 ARIMA(0， 0， q)， 就是階MA(q)模型；如果模型為 ARIMA(p， 0， q)， 就是自回歸移動(dòng)平均模型 ARMA(p， q) 11 133 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MAIMA模型 ) 11 134 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (MAIMA模型 ) 11 135 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (ARIMA(p,d,q)模型 — 例題分析 ) 【 例 1111】 利用例 111中的金屬機(jī)床產(chǎn)量序列 ， 選擇適當(dāng)?shù)?ARMA模型進(jìn)行預(yù)測 擬合 ARIMA模型 11 136 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (ARIMA(p,d,q)模型 — 例題分析 ) ? 機(jī)床產(chǎn)量序列一階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖 自相關(guān)圖 偏自相關(guān)圖 一階差分后的序列已不存在趨勢，且各有一個(gè)明顯的峰值，選用 ARIMA（ 1,1,1）模型 11 137 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (ARIMA(p,d,q)模型 — 例題分析 ) ? 機(jī)床產(chǎn)量序列一階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖 自相關(guān)圖 偏自相關(guān)圖 一階差分后的序列已不存在趨勢，且各有一個(gè)明顯的峰值，選用 ARIMA（ 1,1,1）模型 11 138 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第四版 ) 2020915 ARIMA模型的識別 (用 SPSS求 ARIMA(