【導(dǎo)讀】在科學(xué)試驗(yàn)、生產(chǎn)實(shí)踐和社會生活中，影響一個(gè)事件的因素往往很多。產(chǎn)中，產(chǎn)品的質(zhì)量往往受到原材料、設(shè)備、技術(shù)及員工素質(zhì)等因素的影響；又如，在工作中，數(shù)學(xué)模型，鑒別各個(gè)因素影響效應(yīng)的一種有效方法.因素）；另一類人們無法控制的.今后，我們所討論的因素都是指可控制因素。因素所處的狀態(tài)，稱為該因素的水平.如。設(shè)單因素A具有r個(gè)水平，分別記為,,,,21rAAA?每個(gè)總體均服從正態(tài)分布;從每個(gè)總體中抽取的樣本相互獨(dú)立.備擇假設(shè)為.,,,:211不全相等rH????下，進(jìn)行in次獨(dú)立試驗(yàn)，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)為,,,,21. 未知和相互獨(dú)立各個(gè)2. 的均值是否相等;TS能反映全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，又稱為總偏差平方和.N，各個(gè)ijX間的差異只是由隨機(jī)因素引起的。

　　

【正文】 9。1 yy? 和置信度 ??1 , 令 ??????????????????? ???)( ???)(2/1039。22/1039。1 uxxy uxxy (1) 解得 ???????????12/039。139。212/039。139。1 ?/)??()(?/)??()(????????uyxxuyxx (2) 當(dāng) 0?1?? 時(shí) , 控制范圍為 )。,( 39。239。1 xx 當(dāng) 0?1?? 時(shí) , 控制范圍為 )。,( 39。139。2 xx 如圖 833. 實(shí)際應(yīng)用中 , 由 (1)式 知 , 要實(shí)現(xiàn)控制 , 必須要求區(qū)間 ),( 39。239。1 yy 的長度大于 ?? ?2 2/u , 否則控制區(qū)間不存在 . 特別 , 當(dāng) ?? 時(shí) , ??? uu? , 故 (2)近似為 ???????????1039。139。21039。139。1 ?/)?2?()(?/)?2?()(??????yxxyxx 八、可化為一元線性回歸的情形 前面討論了一元線性回歸問題 , 但在實(shí)際應(yīng)用中 , 有時(shí)會遇到更復(fù)雜的回歸問題 , 但其中有些情形 , 可通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q化為一元線性回歸問題來處理 . 1. xY 10 ?? ??+ ),0(~, 2??? N （ 1） 其中 2, ??? 是與 x 無關(guān)的未知參數(shù) . 令 ,1xx??則可化為下列一元線性回歸模型 : ),0(~,39。39。 210 ????? NxY ??? 2. ?? ? ?? xeY , ),0(~ln 2?? N (2) 其中 2, ??? 是與 x 無關(guān)的未知參數(shù) . 在 ?? ? ?? xeY 兩邊取對數(shù)得 ??? lnlnln ??? xY 令 ,ln39。 YY? ,ln??a ,??b ,39。 xx? ,ln~39。 ?? 則 (2)可轉(zhuǎn)化為下列一元線性回歸模型 : ),0(~39。,39。39。39。 2??? NbxaY ??? 3. ),0(~ln, 2???? ? NxY ?? (3) 其中 2, ??? 是與 x 無關(guān)的未知參數(shù) . 在 ????? xY 兩邊取對數(shù)得 ??? lnlnlnln ??? xY 令 ,ln39。,ln39。,ln,ln39。 ???? ????? xxbaYY 則 (2)可轉(zhuǎn)化為下列一元線性回歸模型： ),0(~39。,39。39。39。 2??? NbxaY ??? 4. ),0(~,)( 2????? NxhY ??? (4) 其中 2, ??? 是與 x 無關(guān)的未知參數(shù) . )(xh 是 x 的已知函數(shù) ,令 ),(39。,39。 xhxbaYY ???? ?? 則 (3)可轉(zhuǎn)化為 ).,0(~,39。39。 2??? NbxaY ??? 注 : 其它，如雙曲線xxY ????和 S 型曲線xeY ??? ?? 1函數(shù)等亦可通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為一元線性模型來處理 . 若在原模型下 , 對于 ),( Yx 有樣本 ),(,),(),( 2211 nn yxyxyx ? 就相當(dāng)于在新模型下有樣本 )39。,39。(,),39。,39。(),39。,39。( 2211 nn yxyxyx ? 因而就能利用一元線性回歸的方法進(jìn)行估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)測，在得到 39。Y 關(guān)于 39。x 的回歸方程后 ,再將原變量代回，就得到 Y 關(guān)于 x 的回歸方程 ,它的圖形是一條曲線，也稱為曲線回歸方程。 例題選講： 一元線性回歸模型 例 1 ( 講義例 1) 求引例中產(chǎn)品得率 Y 關(guān)于溫度 x 的回歸方程 . 例 2 (講義例 2) 對某地區(qū)生產(chǎn)同一產(chǎn)品的 8 個(gè)不同規(guī)模的鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)費(fèi)用調(diào)查 , 得產(chǎn)量 x(萬件 )和生產(chǎn)費(fèi)用 Y (萬元 )的數(shù)據(jù)如下 : 試據(jù)此建立 Y 關(guān)于 x 的回歸方程 . 回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 例 3 (講義例 3) 以家庭為單 位 , 某種商品年需求量與該商品價(jià)格之間的一組調(diào)查數(shù)據(jù)如下表 : )( )( kgx需求量 元價(jià)格 (1) 求經(jīng)驗(yàn)回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (2) 檢驗(yàn)線性關(guān)系的顯著性 ( ?? , 采用 ?F 檢驗(yàn)法 ). 回歸方程的檢驗(yàn)假設(shè) 例 4 (講義例 4) 對本章第一節(jié)中例 2 的線性回歸作顯著檢驗(yàn) ( ).?? 預(yù)測問題 例 5 (講義例 5) 某建材實(shí)驗(yàn)室做陶?；?凝土實(shí)驗(yàn)室中 , 考察每 3m 混凝土的水泥用量 (kg)對混凝土抗壓強(qiáng)度 (kg/ 2cm )的影響 , 測得下列數(shù)據(jù) . 260250240230220210202090180170160150yxyx抗壓強(qiáng)度水泥用量抗壓強(qiáng)度水泥用量 (1) 求經(jīng)驗(yàn)回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (2) 檢驗(yàn)一元線性回歸的顯著性 ( ?? )。 (3) 設(shè) ,2250 kgx ? 求 y 的預(yù)測值及 置信度為 的預(yù)測區(qū)間 . 可化為一元線性回歸的情形 例 6 (講義例 6) 電容器充電達(dá)某電壓值時(shí)為時(shí)間的計(jì)算原點(diǎn) , 此后電容器串聯(lián)一電阻放電 , 測定各時(shí)刻的電壓 u, 測量結(jié)果如下 : 551010152030405575100)( 109876543210)( Vu st電壓時(shí)間 若 u 與 t 的關(guān)系為 ,0 cteuu ?? 其中 cu,0 未知 , 求 u 對 t 的回歸方程 . 課堂練習(xí) 1. 考察溫度對產(chǎn)量的影響 ,測得下列 10 組數(shù)據(jù) : )( 65605550454035302520)( kgy Cx產(chǎn)量溫度? (1) 求經(jīng)驗(yàn)回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (2) 檢驗(yàn)回歸的顯著性 ( ?? )。 (3) 求 Cx ?42? 時(shí)產(chǎn)量 y 的預(yù)測值及置信度為 的預(yù)測區(qū)間 . 第四節(jié) 多元線性回歸 在許多實(shí)際問題中， 常常會遇到要研究一個(gè)隨機(jī)變量與多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，例如，某種產(chǎn)品的銷售額不僅受到投入的廣告費(fèi)用的影響，通常還與產(chǎn)品的價(jià)格、消費(fèi)者的收入狀況、社會保有量以及其它可替代產(chǎn)品的價(jià)格等諸多因素有關(guān)系 . 研究這種一個(gè)隨機(jī)變量同其他多個(gè)變量之間的關(guān)系的主要方法是運(yùn)用多元回歸分析 . 多元線性回歸分析是一元線性回歸分析的自然推廣形式，兩者在參數(shù)估計(jì)、顯著性檢驗(yàn)等方面非常相似 . 本節(jié)只簡單介紹多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型及其最小二乘估計(jì) . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 多元線性回歸模型 ★ 最小二乘估計(jì) ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 習(xí)題 84 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、多 元線性回歸模型 設(shè)影響因變量 Y 的自變量個(gè)數(shù)為 P，并分別記為 ,21 , pxxx ? 所謂多元線性模型是指這些自變量對 Y 的影響是線性的，即 ????? ?????? pp xxxY ?22110 ， ),0(~ 2?? N 其中 p???? , 210 ? ， 2? 是與 pxxx , 21 ? 無關(guān)的未知參數(shù)，稱 Y 為對自變量 ,21 , pxxx ? 的線性回歸函數(shù) . 記 n 組樣本分別是 ),( 21 iipii yxxx ? ),2,1( ni ?? ，則有 ?????????????????????????nnppnnnppppxxxyxxxyxxxy?????????????????????????????????2211022222211021112211101, 其中 n??? , 21 ? 相互獨(dú)立，且 ),0(~ 2?? Ni ， ni ,2,1 ?? ，這個(gè)模型稱為多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型 . 令 Y =??????????????nyyy?21, X =??????????????npnnppxxxxxxxxx????????212222111211111, ???????????????p???? ?10, ???????????????n???? ?21 則上述數(shù)學(xué)模型可用矩陣形式表示為 ????XY 其中 ? 是 n 維隨機(jī)向量，它的分量相互獨(dú)立。 二、最小二乘估計(jì) 與一元線性回歸類似，我們采用最小二乘法估計(jì)參數(shù) p???? , 210 ? ，引入偏差平方和 ),( 10 pQ ??? ? =?? ?????ni ippiii xxxy1222110 )( ???? ? 最小二乘估計(jì)就是求 ?? = Tp ),( 10 ??? ???? ，使得 ?min ),( 10 pQ ??????? = ),( 10 pQ ??? ???? 因?yàn)?),( 10 pQ ??? ? 是 p??? , 10 ? 的非負(fù)二次型，故其最小值一定存在。根據(jù)多元微積分的極值原理，令 .,2,10)(20)(2111011100pjxxxyQxxyQniijippiijniippii????????????????????????????????????????? 上述方程組稱為正規(guī)方程組，可用矩陣表示為 YXXX TT ?? 在系數(shù)矩陣 XXT 滿秩的條件下，可解得 YXXX TT 1)( ???? ?? 就是 ? 的最小二乘估計(jì)，即 ?? 為回歸方程 ?y? pp xx ??? ???? ??? 110 的回歸系數(shù) . 注 ：實(shí)際應(yīng)用中，因多元線性回歸所涉及的數(shù)據(jù)量較大，相關(guān)分析與計(jì)算較復(fù)雜，通常采用統(tǒng)計(jì)分析軟件 SPSS 或 SAS 完成，有興趣的讀者可進(jìn)一步參考相關(guān)資料 . 例題選講： 例 1（講義例 1） 設(shè) TyyyY ),( 321? 服從線性模 型 ,3,2,1),23( 2210 ????? ixxY iii ??? 其中 ,1,0,1 32 ???? xxxi 試寫出矩陣 X, 并求出 210 , ??? 的最小二乘估計(jì) . 例 2（講義例 2） 下面給出了某種產(chǎn)品每件平均單價(jià) Y (元 )與批量 x(件 )之間的關(guān)系的組 數(shù)據(jù) x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90 y 我們選取模型 ),0(~, 22210 ?????? NxxY ???? 來擬合它，求其回歸方程 . 課堂練習(xí) ?????????????33221122ebayebayeay , 其中321 , eee 相互獨(dú)立 , 且 ,3,2,1,)(,0)( 2 ??? ieDeE ii ? 試求 a和 b 的最小二乘估計(jì) .