【導讀】在科學試驗、生產(chǎn)實踐和社會生活中，影響一個事件的因素往往很多。產(chǎn)中，產(chǎn)品的質量往往受到原材料、設備、技術及員工素質等因素的影響；又如，在工作中，數(shù)學模型，鑒別各個因素影響效應的一種有效方法.因素）；另一類人們無法控制的.今后，我們所討論的因素都是指可控制因素。因素所處的狀態(tài)，稱為該因素的水平.如。設單因素A具有r個水平，分別記為,,,,21rAAA?每個總體均服從正態(tài)分布;從每個總體中抽取的樣本相互獨立.備擇假設為.,,,:211不全相等rH????下，進行in次獨立試驗，得到試驗數(shù)據(jù)為,,,,21. 未知和相互獨立各個2. 的均值是否相等;TS能反映全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異，又稱為總偏差平方和.N，各個ijX間的差異只是由隨機因素引起的。

　　

【正文】 9。1 yy? 和置信度 ??1 , 令 ??????????????????? ???)( ???)(2/1039。22/1039。1 uxxy uxxy (1) 解得 ???????????12/039。139。212/039。139。1 ?/)??()(?/)??()(????????uyxxuyxx (2) 當 0?1?? 時 , 控制范圍為 )。,( 39。239。1 xx 當 0?1?? 時 , 控制范圍為 )。,( 39。139。2 xx 如圖 833. 實際應用中 , 由 (1)式 知 , 要實現(xiàn)控制 , 必須要求區(qū)間 ),( 39。239。1 yy 的長度大于 ?? ?2 2/u , 否則控制區(qū)間不存在 . 特別 , 當 ?? 時 , ??? uu? , 故 (2)近似為 ???????????1039。139。21039。139。1 ?/)?2?()(?/)?2?()(??????yxxyxx 八、可化為一元線性回歸的情形 前面討論了一元線性回歸問題 , 但在實際應用中 , 有時會遇到更復雜的回歸問題 , 但其中有些情形 , 可通過適當?shù)淖兞刻鎿Q化為一元線性回歸問題來處理 . 1. xY 10 ?? ??+ ),0(~, 2??? N （ 1） 其中 2, ??? 是與 x 無關的未知參數(shù) . 令 ,1xx??則可化為下列一元線性回歸模型 : ),0(~,39。39。 210 ????? NxY ??? 2. ?? ? ?? xeY , ),0(~ln 2?? N (2) 其中 2, ??? 是與 x 無關的未知參數(shù) . 在 ?? ? ?? xeY 兩邊取對數(shù)得 ??? lnlnln ??? xY 令 ,ln39。 YY? ,ln??a ,??b ,39。 xx? ,ln~39。 ?? 則 (2)可轉化為下列一元線性回歸模型 : ),0(~39。,39。39。39。 2??? NbxaY ??? 3. ),0(~ln, 2???? ? NxY ?? (3) 其中 2, ??? 是與 x 無關的未知參數(shù) . 在 ????? xY 兩邊取對數(shù)得 ??? lnlnlnln ??? xY 令 ,ln39。,ln39。,ln,ln39。 ???? ????? xxbaYY 則 (2)可轉化為下列一元線性回歸模型： ),0(~39。,39。39。39。 2??? NbxaY ??? 4. ),0(~,)( 2????? NxhY ??? (4) 其中 2, ??? 是與 x 無關的未知參數(shù) . )(xh 是 x 的已知函數(shù) ,令 ),(39。,39。 xhxbaYY ???? ?? 則 (3)可轉化為 ).,0(~,39。39。 2??? NbxaY ??? 注 : 其它，如雙曲線xxY ????和 S 型曲線xeY ??? ?? 1函數(shù)等亦可通過適當?shù)淖兞刻鎿Q轉化為一元線性模型來處理 . 若在原模型下 , 對于 ),( Yx 有樣本 ),(,),(),( 2211 nn yxyxyx ? 就相當于在新模型下有樣本 )39。,39。(,),39。,39。(),39。,39。( 2211 nn yxyxyx ? 因而就能利用一元線性回歸的方法進行估計、檢驗和預測，在得到 39。Y 關于 39。x 的回歸方程后 ,再將原變量代回，就得到 Y 關于 x 的回歸方程 ,它的圖形是一條曲線，也稱為曲線回歸方程。 例題選講： 一元線性回歸模型 例 1 ( 講義例 1) 求引例中產(chǎn)品得率 Y 關于溫度 x 的回歸方程 . 例 2 (講義例 2) 對某地區(qū)生產(chǎn)同一產(chǎn)品的 8 個不同規(guī)模的鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進行生產(chǎn)費用調查 , 得產(chǎn)量 x(萬件 )和生產(chǎn)費用 Y (萬元 )的數(shù)據(jù)如下 : 試據(jù)此建立 Y 關于 x 的回歸方程 . 回歸方程的顯著性檢驗 例 3 (講義例 3) 以家庭為單 位 , 某種商品年需求量與該商品價格之間的一組調查數(shù)據(jù)如下表 : )( )( kgx需求量 元價格 (1) 求經(jīng)驗回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (2) 檢驗線性關系的顯著性 ( ?? , 采用 ?F 檢驗法 ). 回歸方程的檢驗假設 例 4 (講義例 4) 對本章第一節(jié)中例 2 的線性回歸作顯著檢驗 ( ).?? 預測問題 例 5 (講義例 5) 某建材實驗室做陶?；?凝土實驗室中 , 考察每 3m 混凝土的水泥用量 (kg)對混凝土抗壓強度 (kg/ 2cm )的影響 , 測得下列數(shù)據(jù) . 260250240230220210202090180170160150yxyx抗壓強度水泥用量抗壓強度水泥用量 (1) 求經(jīng)驗回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (2) 檢驗一元線性回歸的顯著性 ( ?? )。 (3) 設 ,2250 kgx ? 求 y 的預測值及 置信度為 的預測區(qū)間 . 可化為一元線性回歸的情形 例 6 (講義例 6) 電容器充電達某電壓值時為時間的計算原點 , 此后電容器串聯(lián)一電阻放電 , 測定各時刻的電壓 u, 測量結果如下 : 551010152030405575100)( 109876543210)( Vu st電壓時間 若 u 與 t 的關系為 ,0 cteuu ?? 其中 cu,0 未知 , 求 u 對 t 的回歸方程 . 課堂練習 1. 考察溫度對產(chǎn)量的影響 ,測得下列 10 組數(shù)據(jù) : )( 65605550454035302520)( kgy Cx產(chǎn)量溫度? (1) 求經(jīng)驗回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (2) 檢驗回歸的顯著性 ( ?? )。 (3) 求 Cx ?42? 時產(chǎn)量 y 的預測值及置信度為 的預測區(qū)間 . 第四節(jié) 多元線性回歸 在許多實際問題中， 常常會遇到要研究一個隨機變量與多個變量之間的相關關系，例如，某種產(chǎn)品的銷售額不僅受到投入的廣告費用的影響，通常還與產(chǎn)品的價格、消費者的收入狀況、社會保有量以及其它可替代產(chǎn)品的價格等諸多因素有關系 . 研究這種一個隨機變量同其他多個變量之間的關系的主要方法是運用多元回歸分析 . 多元線性回歸分析是一元線性回歸分析的自然推廣形式，兩者在參數(shù)估計、顯著性檢驗等方面非常相似 . 本節(jié)只簡單介紹多元線性回歸的數(shù)學模型及其最小二乘估計 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 多元線性回歸模型 ★ 最小二乘估計 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 習題 84 ★ 返回 內(nèi)容要點： 一、多 元線性回歸模型 設影響因變量 Y 的自變量個數(shù)為 P，并分別記為 ,21 , pxxx ? 所謂多元線性模型是指這些自變量對 Y 的影響是線性的，即 ????? ?????? pp xxxY ?22110 ， ),0(~ 2?? N 其中 p???? , 210 ? ， 2? 是與 pxxx , 21 ? 無關的未知參數(shù)，稱 Y 為對自變量 ,21 , pxxx ? 的線性回歸函數(shù) . 記 n 組樣本分別是 ),( 21 iipii yxxx ? ),2,1( ni ?? ，則有 ?????????????????????????nnppnnnppppxxxyxxxyxxxy?????????????????????????????????2211022222211021112211101, 其中 n??? , 21 ? 相互獨立，且 ),0(~ 2?? Ni ， ni ,2,1 ?? ，這個模型稱為多元線性回歸的數(shù)學模型 . 令 Y =??????????????nyyy?21, X =??????????????npnnppxxxxxxxxx????????212222111211111, ???????????????p???? ?10, ???????????????n???? ?21 則上述數(shù)學模型可用矩陣形式表示為 ????XY 其中 ? 是 n 維隨機向量，它的分量相互獨立。 二、最小二乘估計 與一元線性回歸類似，我們采用最小二乘法估計參數(shù) p???? , 210 ? ，引入偏差平方和 ),( 10 pQ ??? ? =?? ?????ni ippiii xxxy1222110 )( ???? ? 最小二乘估計就是求 ?? = Tp ),( 10 ??? ???? ，使得 ?min ),( 10 pQ ??????? = ),( 10 pQ ??? ???? 因為 ),( 10 pQ ??? ? 是 p??? , 10 ? 的非負二次型，故其最小值一定存在。根據(jù)多元微積分的極值原理，令 .,2,10)(20)(2111011100pjxxxyQxxyQniijippiijniippii????????????????????????????????????????? 上述方程組稱為正規(guī)方程組，可用矩陣表示為 YXXX TT ?? 在系數(shù)矩陣 XXT 滿秩的條件下，可解得 YXXX TT 1)( ???? ?? 就是 ? 的最小二乘估計，即 ?? 為回歸方程 ?y? pp xx ??? ???? ??? 110 的回歸系數(shù) . 注 ：實際應用中，因多元線性回歸所涉及的數(shù)據(jù)量較大，相關分析與計算較復雜，通常采用統(tǒng)計分析軟件 SPSS 或 SAS 完成，有興趣的讀者可進一步參考相關資料 . 例題選講： 例 1（講義例 1） 設 TyyyY ),( 321? 服從線性模 型 ,3,2,1),23( 2210 ????? ixxY iii ??? 其中 ,1,0,1 32 ???? xxxi 試寫出矩陣 X, 并求出 210 , ??? 的最小二乘估計 . 例 2（講義例 2） 下面給出了某種產(chǎn)品每件平均單價 Y (元 )與批量 x(件 )之間的關系的組 數(shù)據(jù) x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90 y 我們選取模型 ),0(~, 22210 ?????? NxxY ???? 來擬合它，求其回歸方程 . 課堂練習 ?????????????33221122ebayebayeay , 其中321 , eee 相互獨立 , 且 ,3,2,1,)(,0)( 2 ??? ieDeE ii ? 試求 a和 b 的最小二乘估計 .