【正文】 j ijs 11 ? ， i=1， 2， ?， r， j?? = ??ri ijr 11 ? ， j=1， 2， ?， s， ? i = ????i ， i=1， 2， ?， r， ? j = ????j ， j=1， 2， ?， s， 易見 ?? ?ri i1 0?， ?? ?sj j1 0?. 稱 ? 為總平均，稱 ? i 為水平 Ai 的效應， 稱 ? j 為水平 Bj的效應 . 且 ? ij =? +? i +? j . 于是上述模型進一步 可寫成 ?????????????????? ?? ?risjjiijijijijjiijNsjriX1 122.0,0,),0(~),2,1,2,1(,???????????相互獨立，未知，各?? 檢驗假設： ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零rA rAHH ??? ??? ? ? ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零sB sBHH ??? ??? ? ? 若 AH0 （或 BH0 ）成立，則認為因素 )( BA或 的影響不顯著，否則影響顯著。1)(1(,1( ??? srsF? 實際分析中，常采用如下簡便算法和記號： 記 T=??? ? ?risj ij XrsX1 1 , T?i =?? ?? isj ij XsX1, 。,1。,1。1(,1( ?? trsrF? 類似地 ，當 BH0 為真時，可以證明 FB =))1(( )1( ??trsS sSE B~ ))。我們稱這類非確定性關系為相關關系。 設 ),(,),(),( 2211 nn YxYxYx ?是取自總體 ),( Yx 的一組樣本 ,而 ),(,),(),( 2211 nn yxyxyx ?是該樣本的觀察 值 ,在樣本和它的觀察值中的 nxxx , 21 ? 是取定的不完全相同的數(shù)值，而樣本中的 nYYY , 21 ? 在試驗前為隨機變量，在試驗或觀測后是具體的數(shù)值，一次抽樣的結果可以取得 n 對數(shù)據(jù) ),(,),(),( 2211 nn yxyxyx ?，則有 iii xy ??? ??? 10 , ni ,2,1 ?? (2) 其中 n??? , 21 ? 相互獨立。239。,( 39。139。 ?? 則 (2)可轉(zhuǎn)化為下列一元線性回歸模型 : ),0(~39。,39。,39。 例題選講： 一元線性回歸模型 例 1 ( 講義例 1) 求引例中產(chǎn)品得率 Y 關于溫度 x 的回歸方程 . 例 2 (講義例 2) 對某地區(qū)生產(chǎn)同一產(chǎn)品的 8 個不同規(guī)模的鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進行生產(chǎn)費用調(diào)查 , 得產(chǎn)量 x(萬件 )和生產(chǎn)費用 Y (萬元 )的數(shù)據(jù)如下 : 試據(jù)此建立 Y 關于 x 的回歸方程 . 回歸方程的顯著性檢驗 例 3 (講義例 3) 以家庭為單 位 , 某種商品年需求量與該商品價格之間的一組調(diào)查數(shù)據(jù)如下表 : )( )( kgx需求量 元價格 (1) 求經(jīng)驗回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 二、最小二乘估計 與一元線性回歸類似，我們采用最小二乘法估計參數(shù) p???? , 210 ? ，引入偏差平方和 ),( 10 pQ ??? ? =?? ?????ni ippiii xxxy1222110 )( ???? ? 最小二乘估計就是求 ?? = Tp ),( 10 ??? ???? ，使得 ?min ),( 10 pQ ??????? = ),( 10 pQ ??? ???? 因為 ),( 10 pQ ??? ? 是 p??? , 10 ? 的非負二次型，故其最小值一定存在。Y 關于 39。39。,ln,ln39。 YY? ,ln??a ,??b ,39。239。139。當 n 很大 , 并且 0x 較接近 x 時 , 有 1)(11 20 ???? xxL xxn , 2/2/ )2( ?? unt ?? 則預測區(qū)間近似為 ).??,??( 2/02/0 ?? aa uyuy ?? 七、控制問題 控制問題是預測問題的反問題 ,所考慮的問題是：如果要求將 y 控制在某一定范圍內(nèi) , 問x 應控制在什么范圍 ? 這里我們僅對 n 很大的情形給出控制方法 ,對一般的情形 ,也可類似地進行討論。 本節(jié)主要介紹一元線性回歸模型估計、檢驗以及相應的預測和控制等問題。 每個水平組合進行兩次試驗 , 所得結果如表 (指標值以大為好 ). 問通電 方法、液溫和它們的交互作用對該質(zhì)量指標有無顯著影響 ( )?? ? 1B 2B 1A 2A 3A 1010 1010 第三節(jié) 一元線性回歸 在客觀世界中 , 普遍存在著變量之間的關系 .數(shù)學的一個重要作用就是從數(shù)量上來揭示、表達和分析這些關系。 3. 檢驗方法 當 AH0 為真時，可以證明 FA =))1(( )1( ??trsS rSE A~ ))。,1 ?? ?? ），稱 ij? 為水平 Ai 和水平 Bj 的交互效應， 這是由 Ai 與 Bj 搭配聯(lián)合起作用而引起的。,1。1)(1(,1( ??? srrF? 類似地，當 BH0 為真時，可以證明 FB =))1)(1( )1( ?? ?srS sSE B~ ))。未知，ijijijijijijN sjriX ????? ?? 22 ,),0(~ 。1(~ 22 ?nST ?? 2) 2/?ES ~ )(2 rn?? ，且 ?)( ESE ??? ?sjtk ijkXst 1 11 .2? 所以 )( / rnSE ? 為 2? 的無不偏估計 . 3) 2/?AS ~ )1(2 ?r? ，且 2)1()( ??? rSE A ，因此 )1( ?rSA 為 2? 的無偏估計 . 4) AE SS與 相互獨立 . 五、檢驗方法 如果組間差異比組內(nèi)差異大的多， 即說明因素的各水平間有顯著差異， r 個總體不能認為是同一個正態(tài)總體，應認為 0H 不成立，此時，比值EASr Srn )1( )( ?? 有偏大的趨勢 . 為此，選 用統(tǒng)計量 )( )1( rnS rSF EA ???=EASr Srn )1( )( ?? 在 0H 為真時，有 F =EASr Srn )1( )( ?? ~ F ).,1( rnr ?? 對給定的檢驗水平 a ，查 aF ),1( rnr ?? 的值，由樣本觀察值計算 ES ， AS ，從而計算出統(tǒng)計量 F 的觀察值 . 由于 0H 不真時， AS 值偏大，導致 F 值偏大 . 因此， 1) 若 F aF ),1( rnr ?? 時，拒絕 0H ，表示因素 A 的各水平下的效應有顯著差異 。 第八章 方差分析與回歸分析 第一節(jié) 單因素試驗的方差分析 在科學試驗、生產(chǎn)實踐和社會生活中，影響一個事件的因素往往很多。 記 ?TS EA SS ? （ 4） 其中 ?AS ,)(12.?? ?ri ii XXn ?ES .)(1 12.??? ? ?rinj iiji XX AS 反映在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素 A取不同水平引起的，稱為組間（偏差）平方和，也稱為 因素 A 的偏差平方和 . ES 表示在水平 iA 下樣本值與該水平下的樣本均值之間的差異，它是由隨機誤差引起的，稱為誤差（偏差）平方和，也稱為組內(nèi)（偏差）平方和 . 等式 ?TS EA SS ? 稱 為平方和分解式 . 事實 上 TS =??? ? ?rinj iji XX1 12)( =? ?? ? ???rinj iiiji XXXX1 12.. )]()[( =??? ? ?rinj iiji XX1 12.)( + )()(2 .1 1 . XXXX irinj iiji ??? ?? ? ,)(2.1 XXn iri i ???? 根據(jù) .iX 和 X 的定義知 0)()( .1 1 . ???? ?? ? XXXX iri nj iiji , 所以 TS =??? ? ?rinj iiji XX1 12.)( 2.1 )( XXn iri i ????= .AE SS ? 四、 ES 與 AS 的統(tǒng)計特性 如果 0H 成立 ， 則所有的 ijX 都服從正態(tài)分布 ),( 2??N ，且相互獨立， 由第五章第三節(jié)的定理，可以證明 : 1) )。isiiBH ??? ,: 211 ? 由 假 設 有 ),(~ 2??ijij NX （ ij? 和 2? 未 知 ）， 記 ?ijX i? = ij? ， 即 有ijijij X ?? ?? ~ ),0( 2?N 故 ?ijX ij? 可視為隨機誤差 . 從而得到如下數(shù)學模型 ??? ???? 相互獨立。1)(1(,1( ??? srrF 取顯著性水平為 ? ，得假設 AH0 的拒絕域為 FA =))1)(1( )1( ?? ?srS rSE A ? ))。,1。,1 ?? ?? ）， 其中 ????? ???? ?? jiijij （ sjri ,1。 上式可分解為 ST =SE +SA +SB +S BA? 其中 SE =???? ? ? ??risjtk ijijk XX1 1 12)( ， SA =st?? ?? ?ri i XX12)( , SB = rt?? ?? ?sj j XX12)( , S BA? = t? ?? ? ????? ???risj jiij XXXX1 12)( 同樣，我們?nèi)?SE 稱為誤差平方和， SA ， SB 分別稱為因素 A、因素 B 的偏差平方和，S BA? 稱為 A， B 交互偏差平方和 . 類似地，可以證明當 AH0 、 BH0 、 BAH?0 成立時，有 1) , 22222 ????? EBABAT SSSSS ?分別服從自 由度依次為 )1(),1)(1(,1,1,1 ?????? trssrsrrst 的 2? 分布， 2) EBABAT SSSSS , ? 相互獨立。 液溫選取兩個水平 : 1B (現(xiàn)行溫度 ), 2B (增加 10℃ ))。 回歸分析就是根據(jù)已得的試驗結果以及以往的經(jīng)驗來建立統(tǒng)計模型，并研究變量間的相關關系，建立起變量之間關系的近似表達式，即經(jīng)驗公式，并由此對相應的變量進行預測和控制等。 當)(|| nrr ?? 時 , 接受 0H , 表明回歸效果不顯著 . 六、預測問題 在回歸問題中，若回歸方程經(jīng)檢驗效果顯著 , 這時回歸值與實際值就擬合較好 , 因而可以利用它對因變量 Y 的新觀察值 0y 進行點預測或區(qū)間預測 . 對于給定的 0x ,由回歸方程可得到回歸值 0100 ??? xy ?? ?? 稱 0?y 為 y 在 0x 的預測值 . y 的測試值 0y 與預測值 0?y 之差稱為