概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣本及抽樣分布-資料下載頁(yè)
2025-08-11 09:01本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】數(shù)據(jù),來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,以便對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出合理的估計(jì)和判斷.題,本課程主要講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容.為有限總體,容量為無(wú)限的稱(chēng)為無(wú)限總體.體的身高和數(shù)學(xué)高考成績(jī)等數(shù)量指標(biāo).種血型,則試驗(yàn)的結(jié)果就可以用數(shù)量來(lái)表示了;等).數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是根據(jù)總體中部分個(gè)。個(gè)隨機(jī)變量(或向量).容量為n的樣本可視為n維隨機(jī)向量),,,(21nXXX?,一旦具體取定一。稱(chēng)其為樣本值.全體樣本值組成的集合稱(chēng)為樣本空間.與所考察的總體具有相同的分布;是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.表示.顯然,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是一種非常理想化的樣本,在實(shí)際。應(yīng)用中要獲得嚴(yán)格意義下的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本并不容易.對(duì)有限總體,若采用有放回抽樣就能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但有放回抽樣使用起來(lái)不方便,因抽取一個(gè)個(gè)體不影響它的分布,故采用無(wú)放回抽樣即可得到的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.區(qū)間的組頻數(shù).組頻數(shù)與總的樣本容量之比稱(chēng)為組頻率.
【正文】 i nnnXnEXEn 故有下列定理 : 定理 1 設(shè)總體 ),(~ 2??NX nXXX , 21 ? 是取自 X的一個(gè)樣本 , X 與 2S 分別為該樣本的樣本均值與樣本方差 , 則有 (1) )/,(~ 2 nNX ?? 。 (2) ).1,0(~/ NnXU ? ??? 定理 2 設(shè)總體 ),(~ 2??NX nXXX , 21 ? 是取自 X的一個(gè)樣本 , X 與 2S 分別為該樣本的樣本均值與樣本方差 , 則有 (1) 2? = )。1(~)(11 212222 ???? ?? nXXSn ni i ??? (2) X 與 2S 相互獨(dú)立 . 定理 3 設(shè)總體 ),(~ 2??NX nXXX , 21 ? 是取自 X的一個(gè) 樣本 , X 與 2S 分別為該樣本的樣本均值與樣本方差 , 則有 (1) )(~)(1 21222 nXni i ???? ?? ?? (2) ).1(~/ ??? ntnSXT ? 三、雙正態(tài)總體的抽樣分布 定理 4 設(shè) ),(~ 211 ??NX 與 ),(~ 222 ??NY 是兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體 , 又設(shè)1, 21 nXXX ?是取自總體 X 的樣本 , X 與 21S 分別為該樣本的樣本均值與樣本方差 . 2, 21 nYYY ?是取自總體 Y的樣本 , Y 與 22S 分別為此樣本的樣本均值與樣本方差 . 再記 2wS 是21S 與 22S 的加權(quán)平均 , 即 .2 )1()1( 21 2222112 ?? ???? nn SnSnS w 則 (1) )。1,0(~//)()(22212121 NnnYXU ?? ??? ???? (2) )。1,1(~212221212 ??????????? nnFSSF ?? (3) 當(dāng) 22221 ??? ?? 時(shí) , ).2(~/1/1 )()( 2121 21 ??? ???? nntnnS YXT w ?? 四、一般總體抽樣分布的極限分布 定義 1 設(shè) )(xFn 為隨機(jī)變量 nX 的分布函數(shù) , )(xF 為隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) ,并記 )(FC為由 )(xF 的全體連續(xù)點(diǎn)組成的集合 , 若 ),(),()(lim FCxxFxFnn ????? 則稱(chēng)隨機(jī)變量 nX 依分布收斂于 X, 簡(jiǎn)記為 XX dn ? ?? 或 )()( xFxF dn ? ?? . 命題 設(shè)隨機(jī)變量 X有連續(xù)的分布函數(shù) ,且有 ,1, ? ??? ?? Pndn YXX 則 .XYX dnn ? ?? 定理 5 設(shè) nXXX , 21 ? 為總體 X 的樣本 ,并設(shè)總體 X 的數(shù)學(xué) 期望與方差均存在 , 記為.。 2?? ?? DXEX 記統(tǒng)計(jì)量 ,/,/ nSXTnXU nn ?? ? ???? 其中 X 與 S 分別表示上述樣本的樣本均值與樣本方差 ,則有 ),()()2(),()()1( 00 xxFxxF dTdUnn ?? ???? ?? 以上 )(xFnU, )(xFnT與 )(x? 分別表示 nnTU, 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) . 注 ： 定 理 4 成立的條件只是總體的方差存在，這樣當(dāng)樣本的容量 n充分大時(shí)， nn TU和都近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此在 2? 已知時(shí)，可用 nU 對(duì) ? 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷；在 2? 未知時(shí)，可用 nT 對(duì) ? 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。 例題選講： 單 正態(tài)總體的 抽樣分布 例 1（講義例 1） 設(shè) ),2,21(~ 2NX 2521 , XXX ? 為 X的一個(gè)樣本 ,求 : (1) 樣本均值 X 的數(shù)學(xué)期望與方差 。 (2) }.|21{| ??XP 例 2（講義例 2） 假設(shè)某物體的實(shí)際重量為 ? , 但它是未知的 . 現(xiàn)在用一架天平去稱(chēng)它 , 共稱(chēng)了 n次 ,得到 nXXX , 21 ? . 假設(shè)每次稱(chēng)量過(guò)程彼此獨(dú)立且沒(méi)有系統(tǒng) 誤差 , 則可以認(rèn)為這些測(cè)量值都服從正態(tài)分布 ),( 2??N , 方差 2? 反映了天平及測(cè)量過(guò)程的總精度 , 通常我們用樣本均值 X 去估計(jì) ? , 根據(jù)定理 1, .,~ 2???????? nNX ?? 再?gòu)恼龖B(tài)分布的 ?3 性質(zhì)知 %.|| ??????? ?? nXP ?? 這就是說(shuō) , 我們的估計(jì)值 X 與真值 ? 的偏差不超過(guò) n/3? 的概率為 %,并且隨著稱(chēng)量次數(shù) n的增加 , 這個(gè)偏差界限 n/3? 愈來(lái)愈小 . 例如若 ,?? 10?n . 則 %,}|{|10 || ?????????? ??? ?? XPXP 于是我們以 %的概率斷言 , X 與物體真正重量 ? 的偏差不超過(guò) n增加到 100, 則 %.}|{|100 || ?????????? ??? ?? XPXP 這時(shí) ,我們以同樣的概率斷言 , X 與物體真正重量 ? 的偏差不超過(guò) . 例 3（講義例 3） 在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí) , 重要事情之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差 .對(duì)于一類(lèi)導(dǎo)彈發(fā)射裝置 , 彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布 ),( 2??N , 這里 22 100米?? , 現(xiàn)在進(jìn)行了 25 次發(fā)射試驗(yàn) , 用 2S 記這 25 次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差 . 試求 2S 超過(guò) 50 2米 的概率 . 例 4（講義例 4） 從正態(tài)總體 ),( 2?N 中抽取容量為 10 的樣本 ., 1021 XXX ? X是樣本的均值 . 若 ? 未知 , 計(jì)算 概率 ?????? ???? )(1012i iXP ?與?????? ???? )(1012i i XXP. 雙正態(tài)總體的抽樣分布 例 5（講義例 5） 從正態(tài)總體 ),(~ 2??NX 中抽取容量為 16 的一個(gè)樣本 , 2,SX 分別為樣本的均值和方差 . 若 2,?? 均未知 , 求 2S 的方差 2DS 及概率 : (1) ?????? ? ?SP 。 (2) ?????? ??? ??216122 2)(1612 ??i i XXP (3) ?????? ??? ??216122 2)(1612 ???i iXP. 例 6（講義例 6） 設(shè)兩個(gè)總體 X與 Y都服從正態(tài)分布 )3,20(N ，今從總體 X與 Y中分別抽得容量 15,10 21 ?? nn 的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本 , 求 }.|{| ??YXP 例 7（講義例 7） 設(shè)總體 X 和 Y 相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 )。3,30( 2N 251201 ,。, YYXX ?? 分別來(lái)自總體 X和 Y 的樣本 , ,YX 21S 和 22S 分別是這兩個(gè)樣均值和方差 . 求 }.{ 2221 ?SSP 課堂練習(xí) 1. 設(shè) 1521 , XXX ? 為正態(tài)總體 )3,0( 2N 的一個(gè)樣本 , X 為樣本均值 , 求 : .235)( 1512 ?????? ??? ??i i XXP 2. 設(shè) nXXX , 21 ? 為總體 ),(~ 2??NX 的一個(gè)樣本 , X 和 2S 為樣本均值和樣本方差 .又設(shè)新增加一個(gè)試驗(yàn)量 11, ?? nn XX 與 nXX ,1? 也相互獨(dú)立 , 求統(tǒng)計(jì)量 11 ??? ? nnS XXU n 的分布 .
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1