20xx屆高中數(shù)學(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習學案：87-立體幾何中的向量方法-【含解析】-資料下載頁
2025-04-05 05:08本頁面
【正文】 所以二面角E－AC－B的余弦值為.解法二 過點O作OF⊥AC于點F，連接EF，根據(jù)EO⊥平面ABC，得EO⊥AC，又OF，EO為平面OEF內(nèi)的兩條相交直線，所以AC⊥平面OEF，則EF⊥AC，于是∠EFO是二面角E－AC－B的平面角．在△ABE中，AB＝4，AE＝3，BE＝，∠AEB＝90176。，EO⊥AB，所以EO＝.在△ACE中，EC＝4，AE＝3，∠AEC＝90176。，EF⊥AC，所以EF＝.在△EFO中，EO＝，EF＝，∠EOF＝90176。，所以sin∠EFO＝，所以cos∠EFO＝＝，所以二面角E－AC－B的余弦值為.考點三例3 解析：(1)證明：因為平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE?平面ADEF，DE⊥AD，所以DE⊥平面ABCD.因為AC?平面ABCD，所以DE⊥AC.又四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因為DE∩BD＝D，DE?平面BED，BD?平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC?平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED.(2)因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D－(3,0,0)，F(xiàn)(3,0,2)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，所以＝(3，－3,0)，＝(－3，－3,3)，＝(3,0，－)．設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，則取x＝，得n＝(，2，3)．所以cos〈，n〉＝＝＝－.所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為.(3)假設(shè)在線段AF上存在符合條件的點M，設(shè)M(3,0，t)，0≤t≤2，則＝(0，－3，t)．設(shè)平面MBE的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則，令y1＝t，得m＝(3－t，t,3)．由(1)知CA⊥平面BED，所以是平面BED的一個法向量，|cos〈m，〉|＝＝＝cos 60176。＝，整理得2t2－6t＋15＝0，解得t＝或t＝(舍去)，故在線段AF上存在點M，使得二面角M－BE－D的大小為60176。，此時＝.變式練3．解析：(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥CD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，∴CD⊥AE.(2)假設(shè)存在這樣的點E.∵PA＝2，PD＝2，∠PDA＝，∴由余弦定理可得AD＝2，由勾股定理的逆定理得PA⊥AD，由(1)可知CD⊥PA，又AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，∴PA，AB，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，分別以直線AB，AD，PA為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，設(shè)PE＝tPD(t≠0)，G(2，m,0)，則E(0,2t,2－2t)，＝(2，m,0)，＝(2,2，－2)，＝(0,2t,2－2t)．∵AG⊥PC，∴＝0，即4＋2m＝0，得m＝－2.∵點F是PG的中點，∴點F的坐標為(1，－1,1)，＝(1，－1,1)，設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，則，令z＝1，得y＝1－，x＝－，∴n＝.∵x軸與平面PAD垂直，∴取平面PAD的一個法向量為m＝(1,0,0)．則|cos〈m，n〉|＝＝＝，得t＝，經(jīng)檢驗知符合題意，此時點E為PD的中點，∴存在符合題意的點E，且點E為PD的中點． 16
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