20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：76-直接證明與間接證明-【含解析】-資料下載頁(yè)
2025-04-05 06:01本頁(yè)面
【正文】 只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b0，∴a－b≥0，a＋b0,2a＋b0，從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.4．證明：要證＋＝，即證＋＝3，也就是＋＝1，只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60176。，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60176。，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．考點(diǎn)三例 證明：假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又因?yàn)?a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.這與已知ac＋bd1矛盾，所以a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．變式練證明：假設(shè)與都大于等于2，即≥2，≥2.因?yàn)閤0，y0，所以1＋y≥2x?、?，1＋x≥2y ②.①＋②得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y2矛盾，所以假設(shè)不成立，所以與中至少有一個(gè)小于2. 5
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