直接證明與間接證明-資料下載頁(yè)
2025-08-18 16:45本頁(yè)面
【正文】 ”問(wèn)題，利用反證法進(jìn)行處理.證明：假設(shè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(x1,0)、（x2,0），（x1x2）當(dāng)在定義域R上的單調(diào)遞增時(shí)，當(dāng)在定義域R上的單調(diào)遞增時(shí)，∵定義在實(shí)數(shù)集上R的單調(diào)函數(shù)，∴與，矛盾，∴定義在實(shí)數(shù)集上R的單調(diào)函數(shù)的圖像與軸至多只有一個(gè)公共點(diǎn).1 0. 已知非零實(shí)數(shù) a , b, c成等差數(shù)列，a≠c，求證：不可能成等差數(shù)列.分析：直接不易證明，因此考慮利用反證法進(jìn)行證明.證明：假設(shè)能成等差數(shù)列。則即，∵實(shí)數(shù) a , b,c成等差數(shù)列，∴a+c=2b，∴，∴，∴a=c與a≠c，矛盾，∴不可能成等差數(shù)列.11．已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)．求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．證明：假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(即任何一條拋物線與x軸沒(méi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn))，由y＝ax2＋2bx＋c， y＝bx2＋2cx＋a， y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.上述三個(gè)同向不等式相加得， 4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0， ∴(a－b) 2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證．12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn滿足Sn＝2an－3n (n∈N*)．(1)求證{an＋3}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}是否存在三項(xiàng)使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．證明 (1)：∵Sn＝2an－3n (n∈N*)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首項(xiàng)為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列．∴an＋3＝62n－1，即an＝3(2n－1)．解(2)：假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar，as，at (rst)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列．由(1)知arasat，則2as＝ar＋at，∴6(2s－1)＝3(2r－1)＋3(2t－1)，即2s＋1＝2r＋2t，∴2s＋1－r＝1＋2t－r (*)∵r、s、t均為正整數(shù)且rst，∴(*)左邊為偶數(shù)而右邊為奇數(shù)，矛盾， ∴假設(shè)不成立，故數(shù)列{an}不存在三項(xiàng)使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列.
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