直接證明與間接證明(編輯修改稿)
2024-09-14 16:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例3 對于定義域為[0，1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈[0，1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2) ≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).(1) 若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；(2) 試判斷函數(shù)：f(x)＝2x，(x∈ [0，1])；f(x)＝x2，(x∈[0，1])；f(x)＝，(x∈[0，1])；f(x)＝2x－1，(x∈[0，1])是否為理想函數(shù)，如果是，請予以證明；如果不是，請說明理由.解：(1)取x1＝x2＝0可得f(0)≥f(0)＋f(0)222。 f(0)≤0，又由條件①可得f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)對于f(x)＝2x，(x∈ [0，1])，不滿足f(1)＝1，故不是理想函數(shù)；對于f(x)＝x2，(x∈[0，1])，顯然滿足①、②，設x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則f(x1＋x2)–[f(x1)＋f(x2)]＝( x1＋x2)2－( x12＋x22)＝2 x1x2≥0，∴ f(x1＋x2) ≥f(x1)＋f(x2)滿足③，故f(x)＝ x2，(x∈[0，1])是理想函數(shù)；對于f(x)＝ ，(x∈[0，1])，顯然滿足①、②，取x1＝x2＝，(滿足x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1)，則f(x1＋x2)＝f(1)＝1，f(x1)＋f(x2)＝f()＋f() ＝＋＝，有f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)，故不滿足③，故f(x)＝，(x∈[0，1])不是理想函數(shù)；對于f(x)＝ 2x－1，(x∈[0，1])，顯然滿足①、②，設x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則f(x1＋x2) –[f(x1)＋f(x2)]＝(2x＋x－1)－(2x－1＋2x－1)＝2x2x－2 x－2x＋1＝2x(2x－1)－(2x－1)＝(2x－1)(2x－1)，∵x1≥0，x2≥0，∴2x≥1，2x≥1，∴2x－1≥0，2x－1≥0，∴(2x－1)(2x－1) ≥0，∴f(x1＋x2) ≥f(x1)＋f(x2)滿足③，故f(x)＝2x－1，(x∈[0，1])是理想函數(shù).意圖：本題為“新定義”題，在理解新定義的基礎上，學會信息遷移，.變式：定義：若數(shù)列{An}滿足An＋1＝An2，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中a1＝2，點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝2x2＋2x的圖象上，：數(shù)列{2an＋1}是“平方遞推數(shù)列”.證明：由題意有：an＋1＝2an2＋2an，記An＝2an＋1，∵An＋1＝2an＋1＋1＝2(2an2＋2an)＋1＝4an2＋4
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