高中數(shù)學第六章第六節(jié)直接證明與間接證明(編輯修改稿)
2025-02-02 16:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 論的反面 (否 定命題 )成立； (否定結(jié)論 ) (2)歸謬：將 “反設 ”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理， 導出矛盾 —— 與已知條件、已知的公理、定義、定理 及明顯的事實矛盾或自相矛盾； (推導矛盾 ) (3)結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于 “反設 ” 的謬誤 .既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立 . (結(jié)論成立 ) [特別警示 ] 用反證法證明問題時要注意以下二點： (1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的； (2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法 . 已知 a0， b0，且 a＋ b2，求證： 中至少有一個小于 2. [思路點撥 ] [課堂筆記 ] 假設 都不小于 2， 則 ≥2， ≥2， ∵ a0， b0， ∴ 1＋ b≥2a,1＋ a≥2b， ∴ 1＋ 1＋ a＋ b≥2(a＋ b)，即 2≥a＋ b. 這與已知 a＋ b2矛盾，故假設不成立 . 即 中至少有一個小于 2. 以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程等為載體，考查綜合法、分析法、反證法的應用是高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法 .09年遼寧高考以立體幾何為載體，以解答題的形式考查了反證法的應用，是一個新的考查方向 . [考題印證 ] (2022遼寧高考 )(12分 )如圖， 已知兩個正方形 ABCD和 DCEF不 在同一平面內(nèi)， M， N分別為 AB， DF的中點 . (1)若 CD＝ 2，平面 ABCD⊥ 平面 DCEF，求 MN的長； (2)用反證法證明：直線 ME與 BN是兩條異面直線 . 【 解 】 (1)取 CD的中點 G，連結(jié) MG， NG. 因為 ABCD， DCEF為正方形，且邊長為 2， 所以 MG⊥ CD， MG＝ 2， NG＝ .┄┄┄┄┄┄┄ (4分 ) 因為平面 ABCD⊥ 平面 DCEF， 所以 MG⊥ 平面 DCEF. 可得 MG⊥ NG. 所以 MN＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄ (6分 ) (2)證明：假設直線 ME與 BN共面， 則 AB?平面 MBEN，且平面 MBEN與平面 DCEF交于 EN. 由已知，兩正方形不共面，故 AB?平面 DCEF.┄ (8分 ) 又 AB∥ CD，所以 AB∥ 平面 EN為平面 MBEN與平面DCEF的交線，所以 AB∥ EN.┄┄┄ (10分 ) 又 AB∥ CD∥ EF，所以 EN∥ EF，這與 EN∩EF＝ E矛盾，故假設不成立 . 所以 ME與 BN不共面，它們是異面直線 .┄┄┄ (12分 ) [自主體驗 ] 已知數(shù)列 {an}和 {bn}滿足： a1＝ λ， an＋ 1＝
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