20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第五章第三講-等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和-(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 02:48本頁面
【正文】 2)由已知a1a2…a9＝1，又a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a，所以a＝1，即a5＝1，所以a14＝1，a1＝．(3)不妨設(shè)S4＝1，則S12＝7，∵S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，∴(S8－1)2＝7－S8，解得S8＝3或－2，又S8＝(1＋q4)S40，∴S8＝3，∴＝．另解：由題意＝＝1＋q4＋q8＝7即q8＋q4－6＝0，∴q4＝2或－3(舍去)，∴＝＝1＋q4＝3，故選C．名師講壇素養(yǎng)提升等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用例5 (2021重慶巴蜀中學(xué)期中)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn，{bn}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，b1＝2，且b2＋S2＝7，a2＋b3＝10.(1)求an與bn；(2)定義新數(shù)列{Cn}滿足Cn＝(n∈N*)，求{Cn}前20項(xiàng)的和T20.[分析] (1)用等差、等比數(shù)列基本公式求解．(2)分組求和即可．[解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q0)，則由題意有解得或(舍去)，∴an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1qn－1＝2n.(2)由題意知Cn＝∴T20＝C1＋C2＋C3＋C4＋…＋C19＋C20＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220)＝＋＝100＋(410－1)．[引申](1)本例中數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn＝____.(2)本例中若Cn＝anbn，則{Cn}的前n項(xiàng)和Tn＝__(n－1)2n＋1＋2__.[解析] (1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Tn＝＋＝＋＝＋(2n－1)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)Tn＝＋＝＋＝＋(2n－1－1)．∴Tn＝(2)Tn＝12＋222＋323＋…＋(n－1)2n－1＋n2n①則2Tn＝122＋223＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1②①－②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.名師點(diǎn)撥(1)若{an}，{bn}分別為等差、等比數(shù)列，則求{anbn}前n項(xiàng)和時(shí)用“錯(cuò)位相減法”．(2)求奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)表達(dá)式不同的數(shù)列的前n項(xiàng)和一般用分組求和法．(注意當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是項(xiàng)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)為項(xiàng))需對(duì)n進(jìn)行分類討論求解．〔變式訓(xùn)練3〕(理)(2021吉林調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a4＝8，{bn}是等差數(shù)列，b1＝3，b4＝12.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)＝an＋bn，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn.(文)(2019課標(biāo)Ⅱ，18,12分)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．[解析] (理)(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a4＝a1q3得8＝1q3，所以q＝2，所以an＝2n－1.設(shè){bn}的公差為d，由b4＝b1＋3d得12＝3＋3d，所以d＝3，所以bn＝3n.(2)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為＝＝2n－1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為b1n＋d＝3n＋3＝n2＋n，所以Sn＝2n－1＋n2＋n.(文)(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝24n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 13
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