20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第五章第三講-等比數(shù)列及其前n項和-(含解析)-在線瀏覽
2025-04-03 02:48本頁面
【正文】 n－1__＝__amqn－m__.(2)前n項和公式：Sn＝知識點三 等比數(shù)列的主要性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特別地，若2s＝p＋r，則apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan課標(biāo)Ⅰ，10,5分)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝( D )A．12 B．24C．30 D．32[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，故a2＋a3＋a4＝q(a1＋a2＋a3)，又a2＋a3＋a4＝2，a1＋a2＋a3＝1，∴q＝2，∴a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故選D．6．(2018全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝，a＝a6，則S5＝____.[解析] 解法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.解法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.考點突破新課標(biāo)全國Ⅱ，9)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝( C )A．2 B．1C． D．(2)(2019課標(biāo)Ⅱ，6,5分)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝( C )A．2 B．3C．4 D．5(4)(2020q3＝3＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋＝.解法三：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意易知q≠{an}的前n項和Sn＝A(1－qn)(其中A為常數(shù))，則a1＝S1＝A(1－q)＝1?、伲琒3＝A(1－q3)＝?、?，由①②可得A＝，q＝－.所以S4＝＝.(3)由am＋n＝aman，令m＝1可得an＋1＝a1an＝2an，∴數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴an＝22n－1＝2n，則ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k＋1＋2k＋2＋…＋2k＋10＝＝2k＋11－2k＋1＝215－25，∴k＝．(4)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則＝＝q＝＝2，∴＝＝2－21－．名師點撥等比數(shù)列基本量的求法等比數(shù)列的計算涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根據(jù)條件列出關(guān)于a1，q的方程組求解，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．特別提醒：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，q的值除非題目中給出，否則要根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．考點二 等比數(shù)列的判定與證明——師生共研例2 (2019an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝cqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．提醒：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中．〔變式訓(xùn)練1〕已知數(shù)列{an}的首項a10，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.(1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.[解析] (1)記bn＝－1，則＝＝＝＝＝，又b1＝－1＝－1＝，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以－1＝n－1，即＝洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根
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