福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列一(函數(shù)與導(dǎo)數(shù)存在問題及應(yīng)對策略)-資料下載頁
2025-04-03 02:20本頁面
【正文】 所以,當時, 成立. 所以的最小值是.【解析三】，令，則函數(shù)化為，再利用導(dǎo)數(shù)進行求解．【評析】本題以三角函數(shù)為背景，看似與三角函數(shù)問題，但用三角函數(shù)的知識求解就遇到困難，要求學(xué)生靈活運用其他知識解決，求函數(shù)最值常見的求解方法：（1）利用基本不等式；（2）利用導(dǎo)數(shù)方法；（3）數(shù)形結(jié)合；（4）換元法等等進行轉(zhuǎn)化．類似的問題還有：【2013年全國Ⅰ卷理15】設(shè)當x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________.【2016年全國III卷文21】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為．（1）求；（2）求；（Ⅲ）證明．（六）加強函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題的答題策略教學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的呈現(xiàn)形式為，第（1）問為基礎(chǔ)題，從知識內(nèi)容看主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值與零點等，從思想方法看主要考查分類與整合思想，因此，應(yīng)讓學(xué)生掌握分類與整合思想，弄清分類討論找“分界點”的解題策略；第（2）問題型結(jié)構(gòu)為利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題；利用導(dǎo)數(shù)研究證明不等式問題；利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究多變量等問題．如在解決問題過程中用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，往往需要解方程. 若該方程不易求解時，如何繼續(xù)解題呢，因此，應(yīng)讓學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)零點不可求的解題策略．【例6】【2017年全國Ⅲ卷文21】已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明．【解析】（1）的定義域為，．若，則當時，故在單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）略【評析】 導(dǎo)函數(shù)中含有二次三項式，需對最高項的系數(shù)分類討論：(1)根據(jù)二次項系數(shù)是否為0，判斷函數(shù)是否為二次函數(shù)；(2)由二次項系數(shù)的正負，判斷二次函數(shù)圖象的開口方向，從而尋找導(dǎo)數(shù)的變號零點．事實上，分類討論找“分界點”的解題策略主要有：（1）根據(jù)二次項系數(shù)確定“分界點”；（2）根據(jù)判別式確定“分界點”；（3）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點的大小確定“分界點”；（4）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點與定義域的關(guān)系確定 “分界點”． 【例7】【2015年全國Ⅰ卷文21】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) （1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)； （2）證明：當時，． 【解析】（1）的定義域為，．當時，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，又，當滿足且時，故當時，存在唯一零點． （2）由（1），可設(shè)在的唯一零點為，當時，；當時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，最小值為，由于，所以，故當時，． 【評析】本題第（2）問主要采用設(shè)而不求解決函數(shù)零點問題，在教學(xué)中解決函數(shù)零點問題除了設(shè)而不求解決函數(shù)零點問題，常用的解題策略還有消參構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)零點、整體代換將越方程化為普通方程解決函數(shù)零點．又如，解決極值點偏移問題解題策略主要有：對稱變換、消參減元、比（差）值換元等．（七）開展函數(shù)部分的微專題教學(xué)函數(shù)最值的應(yīng)用，是全國卷試題的一個重要考向．復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)對函數(shù)高頻考點問題函數(shù)最值的應(yīng)用開展微專題教學(xué)，以提升學(xué)生對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的認識．【例8】已知兩個函數(shù)，其中是常數(shù)．（1），求的取值范圍；（2），求的取值范圍；（3），求的取值范圍；（4），求的取值范圍；（5），求的取值范圍；（6），求的取值范圍；（7），求的取值范圍；（8），求的取值范圍；（9），，求的取值范圍；（10），，求的取值范圍；（11），，求的取值范圍；（12），求的取值范圍．
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