【文章內(nèi)容簡介】 39。39。39。339。39。339。339。39。39。41 xxyyyy ????? 或 3 39。39。39。39。39。39。 44 xxyy ??? 對于任給的 0?? ，要 ??? 39。39。39。 yy ，只要 4 339。39。39。 ???xx 或 4339。39。39。 ???xx 即可 . 取 40 3???? ，則當 ??? 39。39。39。 xx 時，恒有 ???3 39。3 39。 xx ??1 當 ? 1? 時， 41?? ； ??2 當 ?? 時， 。 4???? ??3 當 ?? 時， 。 10???? ??4 當 ? 為任意小數(shù)時， ).1(43 ?? ??? 5 函數(shù)在區(qū)間 I 上絕對連續(xù) 設(shè) f 為定義在閉區(qū)間 ? ?ba, 上的實值函數(shù)，若對任給 0?? ，存在 0?? ，使得對任意 ??Nn ，當 ?ii yx, ? ?ba, ， ,??? ii yx 則稱函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上絕對連續(xù) . 例 設(shè) f 是閉區(qū)間 ? ?ba, 上的 Lebsgue 可積函數(shù)，則 f 的不定積分 ? ? ? ? CdttfxF xa ?? ? （其中 C 是任意常數(shù)）是閉區(qū)間 ? ?ba, 上的絕對連續(xù)函數(shù) . 證明： 由積分的絕對連續(xù)性 ,對任意的 0?? ，存在 0?? ，使得對 ? ?ba, 中的任 意可測集 A，當 ? ? ??Am 時， ? ? ??? dttfA,于是對閉區(qū)間 ? ?ba, 上的任意有限個互不相交的開區(qū)間 ? ?? ?niii ba 1, ? ，當 ? ? ?????ni ii ab1時，令 ? ??ni ii baA 1 ,??，則? ??Am ? ? ?????ni ii ab1,于是 ? ? ? ?????ni ii aFbF1 ?????nibaiidttf1? ?? ???? dttfnibaii1?? ??? dttfA 因此 F 是 ? ?ba, 上的絕對連續(xù)函數(shù) . 6 二 相關(guān)概念的比較 及例題分析 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與在區(qū)間上一致連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系 ： 函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別在于 ? 的選取是否與 1x 或 2x 有關(guān) .若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上連續(xù)，是用在區(qū)間 I 上每點處都連續(xù)來定義的，因此， ? 的選取與 1x 的選取無關(guān) .而一致連續(xù)性不然， ? 的選取只與 ? 的大小有關(guān)，與 1x ， 2x 的選取無關(guān)，這表明函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性不僅要求函數(shù)在這個區(qū)間的每一點都連續(xù)，而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是 “ 一致 ” 的，這是對函數(shù)的 “ 整體性 ” 的要求的增強 .函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)一致連續(xù)的必要條件 .函數(shù)一致連續(xù)性的實質(zhì)，就是當這個區(qū)間的任意兩個彼此靠近的點上的值的差，就絕對值來說，可以任意小，即任意的 21,xx ，當 ??? 21 xx 時就有 ??? )()( 21 xfxf .一般地，函數(shù)的連續(xù)性以及一致連續(xù)性反映的是函數(shù)的自變量的變化與函數(shù)值變化之間的關(guān)系，與可微性無關(guān) .總的來說，函數(shù) f 在一點處的連續(xù)性是局部性質(zhì)，而函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的連續(xù)性和一致連續(xù)性等表示 整體性質(zhì) .例如函數(shù) xxf 1)( ? 在區(qū)間 ? ?1,0 就是如此 . 但是函數(shù)在某些條件下是一致的，我們從定理中可以得到，如： ?函數(shù) )(xf在 ? ?ba, 上連續(xù)當且僅當函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)。 ?、如果函數(shù) )(xf 在 ),( ba上連續(xù)，如果 )(xf 在 a 點的右極限、在 b 點的左極限均存在，那么可將函數(shù) )(xf延拓為 ? ?ba, 上的連續(xù)函數(shù) .?、若函數(shù) )(xf 在 ),( ba 上一致連續(xù)，則 )(xf 在 a 點的右極限、在 b 點的左極限均存在 . 以上三條定理說明，有界區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)均可看作有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . 例 證明：函數(shù) xxf 1)( ? 在區(qū)間 ? ?1,0 上是連續(xù)的，但在此區(qū)間上并非一致連續(xù)的 . 證明： 連續(xù)性是顯然的，先證其不一致連續(xù) .考慮 ? ?1,0 上的兩串點 nxn 1?， .1139。 ??nxn 則當 10 0??? 時，不論 0?? 取得多小，只要 n 取得充分大，總可以使 ????? )1( 139。 nnxx nn 但是， 039。 1)()( ???? nn xfxf 因而， xxf 1)( ? 在 ? ?1,0 上并非一致連續(xù) . 7 例 證明：若函數(shù) )(xf 在域 ????xa 上有定義并且是連續(xù)的，而且)(lim xfx ??? 存在，則 )(xf 在此域上是一致連續(xù)的 . 證明： 任給 0?? 。由于 )(lim xfx ???存在，故必存在 aX? ，使當 XxXx ????? ,時，恒有 ? ? ? ? ????? xfxf 。 由于 )(xf 在 ? ?1, ?Xa 上連續(xù)，故一致連續(xù)，從而必有正數(shù) ?? 存在，使當??x ? ?1, ?Xa ， ??x ? ?1, ?Xa ， ???? xx ?? 時恒有 ? ? ? ? ?????? xfxf 。 令 }.1,min{?? ?? 現(xiàn)設(shè) xx ??, 為滿足 ,?????xa ,??????xa ???? xx ?? 的任何兩點。由于 ???? xx ?? ，故 xx ??, 或同時屬于 ? ?1, ?Xa ，或同時滿足 XxXx ????? , ，因此 ，恒有 ? ? ? ? ????? xfxf ， 故 )(xf 在 ????xa 上一致連續(xù) .證畢 . 函數(shù)的一致連續(xù)性與絕對連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系 ： 一致連續(xù)與絕對連續(xù)的差別在于 ? 的選取，一致連續(xù)性對 ? 的要求是 ? 與 ? 有關(guān)，還要與數(shù)對 ),( ii yx 的 “ 個數(shù) ” n 有關(guān)，即 ),( n???? ；而絕對連續(xù)性不然，它只與 ? 有關(guān)，與數(shù)對 ),( ii yx 的 “ 個數(shù) ” 無關(guān)。絕對連續(xù)的函數(shù)一定是一致連續(xù)的，而反之不然。但要深入了解二者的內(nèi)在特征，還需從其他方面做深入的剖析與對比 . 例 證明：設(shè)函數(shù) g 在 E 上 L 可積，若對任意的 0?? ，存在 0?? ，使當可測子集 Ee? 且 ??me 時，就有 ???e dxxg )(，則稱函數(shù) g 在 E 上的 L 積分具有絕對連續(xù)性。 證明：事實上，只要函數(shù) g 在 E 上 L 可積，則其積分必具有絕對連續(xù)性 . 如果函數(shù) g 在 ? ?ba, 上 L 可積，則對任意的 0?? ，存在 0?? ，使得對任意 ??Nn ，當且 ?????ni iixy1時，就有 ? ? ,)()()()( 1 ,1 ????? ?? ?? ?? dttgdttgxfyf eni yxni ii ii其中 ? ?.,1?ni ii yxe ?? 例 證明：函數(shù) f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)當且僅當對任給 0?? ，對任意的??Nn ，存在 0?? ，而當 ?iiyx, ? ?ba, ， , .. . ,2,1,11 niyxyx iiii ???? ?? 滿足?????ni ii xy1 時，就有 ,)()(1 ?????ni ii xfyf 8 證明：只要取 1?n ，即可知定理的充分性成立 .下面證明必要性 . 設(shè)函數(shù) f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)，當且僅當對任給 0?? ，對任意的 ??Nn ，存在0?? ，當 ? ?, bayx ? , .. . ,2,1,11 niyxyx iiii ???? ?? 滿足 ?????ni iixy1時，就有?? ?????? nnxfyfni ii1)()( 成立 .證畢 . 9 三 函數(shù)連續(xù)性的相關(guān)性質(zhì) 在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)包括 ： 最大、最小值定理：若函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則 f 在 ? ?ba, 上有最大值與最小值 . 有界性定理：若函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則 f 在 ? ?ba, 上有界 . 介值性定理：設(shè)函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且 ? ? ? ?.bfaf ? 若 u 介于 ??af與 ??bf 之間的任何實數(shù) ? ? ? ?? ?bfaf ?? ? 或者 ? ? ? ?bfaf ??? ，則至少存在一點? ?bax ,0? ，使得 ? ? ??0xf 根的存在定理：若函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且 ??af 與 ??bf 異號（即? ? ? ? 0?bfaf ），則至少存在一點 ? ?bax ,0? ，使得 ? ? 00 ?xf 即方程 ? ? 0?xf 在 ? ?ba,內(nèi)至少有一個根 . 在局部上連續(xù)函數(shù)具有的性質(zhì)包括 ： 局部有界性：若函數(shù) f 在點 0x 連續(xù)，則 f 在某 ? ?0xU 內(nèi)有界 . 局部保號性：若函數(shù) f 在點 0x 連 續(xù)，且 ? ? 00 ?xf （或 0? ），則對任何正數(shù) ? ?0xfr? (或 ? ?0xfr ?? ），存在某 ? ?0xU ，使得對一切 ?x ? ?0xU 有 ?? rxf ? （或 ? ? rxf ?? ） 例 證明：若 0?r ， n 為正整數(shù)，則存在唯一證書 0x ，使得 rxn?0 （ 0x 成為 r 的 n 次正根（即算數(shù)根），記作 0x =nr ） . 證明：先證存在性 .由于當 ???x 時有 ???nx ，故必存在正數(shù) a ,使得ran? .因為 ? ? nxxf ? 在 ? ?a,0 上連續(xù)，并有 ? ? ? ?afrf ??0 ，故由介值性定理，至少存在一點 ? ?ax ,00? ，使得 ? ? rxxf n ?? 00 . 再證唯一性 .設(shè)正數(shù) 1x 使得 rxn?1 ，則有 ? ?? ? ,0. .. 1120201010 ??????? ??? nnnnn xxxxxxx 由于第二個括號內(nèi)的數(shù)為正，所以只能