高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典總結(jié)(編輯修改稿)
2025-01-22 15:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是常數(shù) )，當(dāng) c＞ 0 時(shí)，它們是同 向變化的；當(dāng) c＜ 0 時(shí)，它們是反向變化的。 ③如果函數(shù) f1(x)， f2(x)同向變化，則函數(shù) f1(x)＋ f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加） ④如果正值函數(shù) f1(x)， f2(x)同向變化，則函數(shù) f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù) f1(2)與 f2(x)同向變化，則函數(shù) f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘） ⑤函數(shù) f(x)與 1()fx在 f(x)的同號(hào)區(qū)間里反向變化。 ⑥若函數(shù) u＝φ (x)， x[α，β ]與函數(shù) y＝ F(u)， u∈ [φ (α )，φ (β )]或 u∈ [φ (β ),φ (α )]同向變化，則在 [α，β ]上復(fù)合函數(shù) y＝ F[φ (x)]是遞增的；若函數(shù) u＝φ (x),x[α，β ]與函數(shù) y＝ F(u)， u∈ [φ (α )，φ (β )]或 u∈ [φ (β )，φ (α )]反向變化，則在 [α，β ]上復(fù)合函數(shù) y＝ F[φ (x)]是遞減的。（同增異減） ⑦若函數(shù) y＝ f(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù) x＝ f－ 1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。 f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正數(shù) ? ?如：求 的單調(diào)區(qū)間y x x? ? ?l o g 12 2 2 （設(shè) ，由 則u x x u x? ? ? ? ? ?2 2 0 0 2 ? ?且 ， ，如圖：lo g12 21 1u u x? ? ? ? ? u O 1 2 x 當(dāng) ， 時(shí)， ，又 ，∴x u u y? ? ? ?( ] l o g0 112 當(dāng) ， 時(shí)， ，又 ，∴x u u y? ? ? ?[ ) l o g1 212 ∴??） 16. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ ? ?在區(qū)間 ， 內(nèi)，若總有 則 為增函數(shù)。（在個(gè)別點(diǎn) 上導(dǎo)數(shù)等于a b f x f x39。 ( ) ( )? 0 零，不影響函數(shù)的單調(diào) 性），反之也對(duì)，若 呢？f x39。 ( ) ? 0 ? ?如：已知 ，函數(shù) 在 ， 上是單調(diào)增函數(shù)，則 的最大a f x x ax a? ? ? ? ?0 13( ) 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f x x a x a x a39。 ( ) ? ? ? ???? ??? ???? ??? ?3 3 3 3 02 則 或x a x a? ? ?3 3 由已知 在 ， 上為增函數(shù)，則 ，即f x a a( ) [ )13 1 3? ? ? ? ∴ a 的最大值為 3） 17. 函數(shù) f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （ f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 若 總成立 為奇函數(shù) 函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f x f x f x( ) ( ) ( )? ? ? ? ? 若 總成立 為偶函數(shù) 函數(shù)圖象關(guān)于 軸對(duì)稱f x f x f x y( ) ( ) ( )? ? ? ? 注意如下結(jié)論： （ 1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 增 增 增 增 增 增 減 減 / / 減 增 減 / / 減 減 增 減 減 （ ）若 是奇函數(shù)且定義域中有 原點(diǎn)，則 。2 f ( x ) f ( 0 ) 0? 如：若 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)f x a a axx( ) ? ? ?? ?2 22 1 （∵ 為奇函數(shù)， ，又 ，∴f x x R R f( ) ( )? ? ?0 0 0 即 ，∴ ）a a a2 22 1 0 100 ? ?? ? ? 又如： 為定義在 ， 上的奇函數(shù)，當(dāng) ， 時(shí)， ，f x x f x xx( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?1 1 0 1 24 1 ? ?求 在 ， 上的解析式。f x( ) ? 1 1 ? ? ? ?（令 ， ，則 ， ，x x f x xx? ? ? ? ? ? ???1 0 0 1 24 1( ) 又 為奇函數(shù)，∴f x f x xxxx( ) ( ) ? ? ? ? ? ???24 1 21 4 ? ?又 ，∴，）f f xxxxxxxx( ) ( )( )0 024 11 0024 1 0 1? ?? ? ? ??? ???????? 判斷函數(shù)奇偶性的方法 一、 定義域法 一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件 .若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù) . 二、 奇偶函數(shù)定義法 在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，計(jì)算 )( xf ? ，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性 . 這 種 方 法 可 以 做 如 下 變 形f(x)+f(x) =0 奇 函 數(shù)f(x)f(x)=0 偶 函 數(shù)f(x)1 偶 函 數(shù) f(x)f(x)1 奇 函 數(shù)f(x)??? 三、 復(fù)合函數(shù) 奇偶性 18. 你熟悉周期函數(shù)的定義f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶 嗎？ ? ?（若存在實(shí)數(shù) （ ），在定義域內(nèi)總有 ，則 為周期T T f x T f x f x? ? ?0 ( ) ( ) 函數(shù)， T 是一個(gè)周期。） ? ?如：若 ，則f x a f x? ? ? ( ) （答： 是周期函數(shù)， 為 的一個(gè)周期）f x T a f x( ) ( )? 2 我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：告訴你 f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過(guò)來(lái)，這時(shí)說(shuō) 這個(gè)函數(shù)周期 2t. 推導(dǎo)： ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 )( ) ( 2 ) 0f x f x t f x f x tf x t f x t? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?， 同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子： f(x)=f(2ax),或者說(shuō) f(ax)=f(a+x).其實(shí)這都是說(shuō)同樣一個(gè)意思：函數(shù) f(x)關(guān)于直線對(duì)稱， 對(duì)稱軸可以由括號(hào)內(nèi)的 2 個(gè)數(shù)字相加再除以 2得到。比如， f(x)=f(2ax),或者說(shuō) f(ax)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線 x=a對(duì)稱。 ()( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( ) ( 2 )2 , 2 2 2 , ( ) ( 2 2 )( ) ( 2 2 ), ( ) 2 | | ( , ,f x x a x bf a x f a x f b x f b xf x f a xf a x f b xf x f b xt a x b x t b a f t f t b af x f x b af x b a a b??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??又 如 ： 若 圖 象 有 兩 條 對(duì) 稱 軸 ，即 ，令 則即所 以 函 數(shù) 以 為 周 期 因 不 知 道 的 大 小 關(guān) 系為 保 守 起 見 我 加 了 一 個(gè) 絕 對(duì) 值 如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ f x f x y( ) ( )與 的圖象關(guān)于 軸 對(duì)稱? 聯(lián)想點(diǎn)（ x,y） ,(x,y) f x f x x( ) ( )與 的圖象關(guān)于 軸 對(duì)稱? 聯(lián)想點(diǎn)（ x,y） ,(x,y) f x f x( ) ( )與 的圖象關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱? ? 聯(lián)想點(diǎn)（ x,y） ,(x,y) f x f x y x( ) ( )與 的圖象關(guān)于 直線 對(duì)稱? ?1 聯(lián)想點(diǎn)（ x,y） ,(y,x) f x f a x x a( ) ( )與 的圖象關(guān)于 直線 對(duì)稱2 ? ? 聯(lián)想點(diǎn)（ x,y） ,(2ax,y) f x f a x a( ) ( ) ( )與 的圖象關(guān)于 點(diǎn) ， 對(duì)稱? ?2 0 聯(lián)想點(diǎn)（ x,y） ,(2ax,0) 將 圖象 左移 個(gè)單位右移 個(gè)單位y f x a aa a y f x ay f x a? ?? ?? ? ? ? ?
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