高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)與積分題型大總結(jié)(編輯修改稿)
2025-01-22 15:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 函數(shù) f(x)=ax－ (a+1)ln(x+1)，其中 a? 1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間 . [解答過程 ]由已知得函數(shù) ()fx的定義域為 ( 1, )??? ，且 39。 1( ) ( 1),1axf x ax ?? ? ?? （ 1）當 10a?? ? 時， 39。( ) 0,fx? 函數(shù) ()fx在 ( 1, )??? 上單調(diào)遞減，（ 2）當 0a? 時，由 39。( ) 0,fx? 解得 a? 39。()fx、 ()fx隨 x 的變化情況如下表 x 1(1, )a? 1a 1( , )a?? 39。()fx — 0 + ()fx 極小值 從上表可知：當 1( 1, )xa??時， 39。( ) 0,fx? 函數(shù) ()fx在 1(1, )a?上單調(diào)遞減 .當 1( , )xa? ??時， 39。( ) 0,fx? 函數(shù) ()fx在 1( , )a??上單調(diào)遞增 .綜上所述：當 10a?? ? 時，函數(shù) ()fx在 ( 1, )??? 上單調(diào)遞減 .當 0a? 時，函數(shù) ()fx在 1(1, )a?上單調(diào)遞減，函數(shù) ()fx在1( , )a?? 上單調(diào)遞增 . 【例 12】．已知函數(shù) 32()f x ax bx cx? ? ?在點 0x 處取得極大值 5 ，其導(dǎo)函數(shù) 39。( )y f x? 的圖象經(jīng)過點 (1,0) ， (2,0) ，如圖所示 .求： （Ⅰ） 0x 的值；（Ⅱ） ,abc的值 . [解答過程 ]解法一：（Ⅰ）由圖像可知，在 ? ?,1?? 上 ??39。0fx? ，在 ? ?1,2 上 ? ?39。0fx? ，在 ? ?2,?? 上 ??39。0fx? , 故 ()fx在 ??（ ， 1） ， （ 2， + ）上遞增，在 (1,2) 上遞減，因此 ??fx在 1x? 處取得極大值，所以 0 1x? （Ⅱ） 39。2( ) 3 2 ,f x ax bx c? ? ?由 39。 39。 39。f f f（ 1 ） =0 ， （ 2 ） ＝ 0 ， （ 1 ） ＝ 5 ，得 3 2 0,12 4 0,5,a b ca b cabc? ? ???? ? ???? ? ??解得 2, 9, b c? ?? ? 解 法 二 ：（ Ⅰ ） 同 解 法 一 （ Ⅱ ） 設(shè) 39。2( ) ( 1 ) ( 2 ) 3 2 ,f x m x x m x m x m? ? ? ? ? ?又 39。2( ) 3 2 ,f x ax bx c? ? ?所以3, , 232ma b m c m? ? ? ? 3 2 |3( ) 2 ,32mf x x m x m x? ? ?由 (1) 5f ?， 即 3 2 5,32m mm? ? ?得 6,m? 所以 2, 9, 12a b c? ?? ? 【例 13】．設(shè) 3?x 是函數(shù) ? ? ? ? ? ?Rxebaxxxf x ???? ?32 的一個極值點 . （Ⅰ）求 a 與 b 的關(guān)系式（用 a 表示 b），并求 ??xf 的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè) 0?a ， ? ?xeaxg ?????? ?? 4252.若存在 ? ?4,0, 21 ??? 使得 ? ? ? ? 121 ?? ?? gf 成立，求 a 的取 值范圍 . [解答過程 ]（Ⅰ） f `(x)＝－ [x2＋ (a－ 2)x＋ b－ a ]e3－ x,由 f `(3)=0，得 － [32＋ (a－ 2)3＋ b－ a ]e3－ 3＝ 0，即得 b＝－ 3－ 2a， 則 f `(x)＝ [x2＋ (a－ 2)x－ 3－ 2a－ a ]e3－ x＝－ [x2＋ (a－ 2)x－ 3－ 3a ]e3－ x＝－ (x－ 3)(x＋ a+1)e3－ f `(x)＝ 0，得 x1＝ 3 或 x2＝－ a－ 1， 由于 x＝ 3 是極值點，所以 x+a+1≠ 0， 那么 a≠－ a－ 4 時， x23＝ x1，則在區(qū)間（－∞， 3）上， f `(x)0， f (x)為減函數(shù)； 在區(qū)間（ 3，― a― 1）上， f `(x)0， f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（― a― 1，＋∞）上， f `(x)0， f (x)為減函數(shù) .當 a－ 4 時， x23＝ x1，則 在區(qū)間（－∞，― a― 1）上， f `(x)0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（― a― 1， 3）上， f `(x)0， f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（ 3，＋∞）上， f `(x)0， f (x)為減函數(shù) .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 a0 時， f (x)在區(qū)間（ 0， 3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（ 3， 4）上單調(diào)遞減，那么 f (x)在區(qū)間 [0， 4]上的值域是 [min(f (0)， f (4) )， f (3)]，而 f (0)＝－（ 2a＋ 3） e30， f (4)＝（ 2a＋ 13） e－ 10， f (3)＝ a＋ 6， 那么 f (x)在區(qū)間 [0， 4]上的值域是 [－（ 2a＋ 3） e3， a＋ 6].又 2 25( ) ( )4 xg x a e??在區(qū)間 [0， 4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間 [0， 4]上的值域是 [a2＋425，（ a2＋425） e4]，由于（ a2＋425）－（ a＋ 6）＝ a2－ a＋41＝（21?a） 2≥ 0，所以只須僅須 （ a2＋425）－（ a＋ 6） 1 且 a0，解得 0a23.故 a 的取值范圍是（ 0，23） . 【例 14 】 已知函數(shù) 321( ) ( 2 ) 13f x ax bx b x? ? ? ? ?，在 1xx? 處取得極大值，在 2xx? 處取得極小值，且120 1 2xx? ? ? ?．（ 1）證明 0a? ；（ 2）若 z=a+2b,求 z 的取值范圍。 [解答過程 ]求函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù) 2( ) 2 2f x ax bx b? ? ? ? ?．（Ⅰ）由函數(shù) ()fx在 1xx? 處取得極大值，在 2xx? 處取得極小值，知 12xx， 是 ( ) 0fx? ? 的兩個根．所以 12( ) ( )( )f x a x x x x? ? ? ?當 1xx? 時， ()fx為增函數(shù)， ( ) 0fx? ? ，由1 0xx??， 2 0xx??得 0a? ．（Ⅱ）在題設(shè)下， 120 1 2xx? ? ? ?等價于(0) 0(1) 0(2) 0fff? ???? ??? ? ?? 即202 2 04 4 2 0ba b ba b b????? ? ? ???? ? ? ??． 化簡得203 2 04 5 2 0babab????? ? ???? ? ??．此不等式組表示的區(qū)域為平面 aOb 上三條直線： 2 0 3 2 0 4 5 2 0b a b a b? ? ? ? ? ? ? ?， ，． 所圍成的 ABC△ 的內(nèi)部，其三個頂點分別為： 46 ( 2 2) ( 4 2)77A B C??????， ， ， ， ，． z 在這三點的值依次為 16687， ， ． 所以
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