高中數學131柱體、錐體、臺體的表面積與體積教案新人教a版必修2(編輯修改稿)
2025-01-14 03:46 本頁面
【文章內容簡介】 . 解： 設圓錐的母線長為 l，因為圓柱的側面積為 S，圓柱的底面半徑為 r，即 S 圓柱側 =S，根據圓柱的側面積公式可得：圓柱的母線（高）長為 rS?2 ，由題意得圓錐的高為 rS?2 ，又圓錐的底面半徑為 r，根據勾股定理，圓錐的母線長 l= 22 )2( rSr ??，根據圓錐的側面積公式得 S 圓錐側 =π rl=π r24)2(24222 SrrSr ??? ??. ，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（ ） ∶ 2∶ 3 ∶ 7∶ 19 ∶ 4∶ 5 ∶ 9∶ 27 分析： 因為圓錐的高被分成的三部分相等，所以兩個截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為 1∶ 2∶ 3，于是自上而下三個圓錐的體積之比為 ( hr23? )∶［ 2)2(3 r? 2h ］∶［ 2)3(3 r? 3h ］ =1∶ 8∶ 27，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為 1∶（ 8－ 1）∶（ 27－ 8） =1∶ 7∶ 19. 答案： B V— ABC 的中截面是△ A1B1C1，則三棱錐 V— A1B1C1與三棱錐 A— A1BC 的體積之比是（ ） ∶ 2 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 8 分析： 中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為 1∶ 4，將三棱錐 A— A1BC轉化為三棱錐 A1— ABC，這樣三棱錐 V— A1B1C1與三棱錐 A1— ABC的高相等， 底面積之比為 1∶ 4，于是其體積之比為 1∶ 4. 答案： B 例 2 如圖 7，一個圓臺形花盆盆口直徑為 20 cm，盆底直徑為 15 cm， 底部滲水圓孔直徑為 cm，盆壁長為 15 ，需要涂油漆 .已知每平方米用 100毫升油漆 ，涂 100 個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取 ，結果精確到 1毫升，可用計算器） 圖 7 活動： 學生思考和討論如何轉化為數學問題 .只要求出每個花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量 .而花盆外壁的表面積等于花盆的側面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積 . 解： 如圖 7，由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積 S=π［ 1522021215)215( 2 ???? ］π ( )2≈1 000(cm 2)=(m2). 涂 100個這樣的花盆需油漆： 100100=1 000 （毫升） . 答：涂 100個這樣的花盆需要 1 000毫升油漆 . 點評： 本題主要考查幾何體的表面積公式及其應用 . 變式訓練 50 cm，橫截面半徑為 10 cm 的圓柱形刷子給一塊面積為 10 m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒 5周的速度在木板上勻速滾動前進，則油漆工完成任務所需的時間是多少 ?（精確到 ） 解： 圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側面積， ∵圓柱的側面積為 S側 =2π rl=2π = π m2， 又∵圓柱形刷子以每秒 5周勻速滾動， ∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為 m2， 因此油漆工完成任務所需的時間 t= ?? 22 ?mm ≈ . 點評： 本題雖然是實際問題，但是通過仔細分析后，還是歸為圓柱的側面積問題 .解決此題的關鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經過的面積就相當于把圓柱的側面展開的面積，即滾動一周所經過的面積等于圓柱的側面積 .從而使問題迎刃而解 . 2.（ 2021山東濱州一模，文 14）已知三棱錐 O— ABC中， OA、 OB、 OC兩兩垂直， OC=1,OA=x，OB=y，且 x+y=4，則三棱錐體積的最大值是 ___________. 分析： 由題意得三棱錐的體積是 61)4(612131 ????? xxxy (x2)2+32 ，由于 x＞ 0，則當 x=2時，三棱錐的體積取最大值 32 . 答案：32 例 3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 g/cm3）六角螺帽（圖 8）共重 kg,已知底面是正六邊形，邊長為 12 mm,內孔直徑為 10 mm,高為 10 mm，問這堆螺帽大約有多少個 ?（π取 ） 圖 8 活動： 讓學生討論和交流如何轉化為數學問題 .六角帽表示的幾何體是一個組合體，在一個六棱柱中間挖去一個圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積 . 解： 六 角 螺 帽 的 體 積 是 六 棱 柱 體 積 與 圓 柱 體 積 的 差 ， 即V= 43 12 2610 ( 210 )210≈2 956(mm 3)=(cm3). 所以螺帽的個數為 1 000247。()≈252( 個 ). 答：這堆螺帽大約有 252個 . 點評： 本題主要考查幾何體的體積公式及其應用 . 變式訓練 如圖 9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為 2 分米， 4 分米，高為 5 分米，現(xiàn)以每秒 3立方分米的速度往容器里面注水，當水面的高度為 3分米時，求所用的時間 .（精確到 ） 圖 9 解： 如圖 10，設水面的半徑為 r，則 EH=r2分米， BG=2分米， 圖 10 在△ ABG中，∵ EH∥ BG， ∴ BGEHAGAH? .∵ AH=2分米 , ∴ 2252 ??r .∴ r=514 分米 . ∴當水面的高度為 3分米時，容器中水的體積為 V 水 = ?31 3 ［ (514 )2+514 4+4 2］ = 25876? 立方分米 , ∴所用的時間為 25292325876 ?? ?
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