高中數(shù)學(xué)132球的體積和表面積課件新人教a版必修2(編輯修改稿)
2024-12-23 17:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( R2－ x2) ＝ 8 π ， ∴ R2－ 1 ＝ 8 ， R2＝ 9 ， ∴ R ＝ 3. 球的表面積為 S ＝ 4π R2＝ 4π 32＝ 36π. [ 類題通法 ] 球的截面問題的解題技巧 ( 1) 有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題． ( 2) 解題時(shí)要注意借助球半徑 R ，截面圓半徑 r ，球心到截面的距離 d 構(gòu)成的直角三角形，即 R2＝ d2＋ r2. [ 活學(xué)活用 ] 3 ．已知過球面上三點(diǎn) A 、 B 、 C 的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且 AC ＝ BC ＝ 6 ， AB ＝ 4 ，求球的表面積與球的體積． 解： 如圖，設(shè)球心為 O ，球半徑為 R ，作 OO 1 垂直平面ABC 于 O 1 ， 由于 OA ＝ OB ＝ OC ＝ R ， 則 O1是 △ A BC 的外心． 設(shè) M 是 AB 的中點(diǎn)， 由于 AC ＝ BC ，則 O1在 CM 上． 設(shè) O1M ＝ x ，易知 O1M ⊥ AB ， 設(shè) O1A ＝ 22＋ x2， O1C ＝ CM － O1M ＝ 62－ 22－ x . 又 O1A ＝ O1C ， ∴ 22＋ x2＝ 62－ 22－ x . 解得 x ＝7 24. 則 O1A ＝ O1B ＝ O1C ＝9 24. 在 Rt △ OO1A 中 ， O1O ＝R2， ∠ OO1A ＝ 90176。 ， OA ＝ R . 由勾股定理得 (R2)2＋ (9 24)2＝ R2. 解得 R ＝3 62. 故 S 球 ＝ 4 π R2＝ 54 π ， V 球 ＝43π R3＝ 27 6 π . [ 典例 ] ( 2020 濟(jì)寧高一檢測(cè) ) 一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為 1,2,3 ，則此球的表面積為 ____ ____ ． [ 解析 ] 長(zhǎng)方體外接球直徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)，即 2 R ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＋ 3 2 ＝ 14 ，所以球的表面積 S ＝ 4π R 2 ＝ 14π. [答案 ] 14π [ 多維探究 ] 1 ． 球的內(nèi)接正方體問題 若棱長(zhǎng)為 2 的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，求此球的體積． 解： 正方體的外接球直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)， 即 2 R ＝ 3 2 ，所以 R ＝ 3 所以 V 球 ＝43π ( 3 )3＝ 4 3 π. 2 ． 球內(nèi)切于正方體問題
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