高中數(shù)學(xué) 132 球的體積和表面積課件 新人教a版必修2-預(yù)覽頁
【正文】 3＝ 27 ， r ＝ 3 ， ∴ S 球 ＝ 4π 32＝36π. 。濟(jì)寧高一檢測 ) 一個長方體的各個頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為 1,2,3 ，則此球的表面積為 ____ ____ ． [ 解析 ] 長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即 2 R ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＋ 3 2 ＝ 14 ，所以球的表面積 S ＝ 4π R 2 ＝ 14π. [答案 ] 14π [ 多維探究 ] 1 ． 球的內(nèi)接正方體問題 若棱長為 2 的正方體的各個頂點(diǎn)均在同一球面上，求此球的體積． 解： 正方體的外接球直徑等于正方體的對角線長， 即 2 R ＝ 3 2 ，所以 R ＝ 3 所以 V 球 ＝43 球的體積和表面積 [提出問題 ] 從生活經(jīng)驗中我們知道，不能將橘子皮展成平面，因為橘子皮近似于球面，這種曲面不能展成平面圖形．那么，人們又是怎樣計算球面的面積的呢？古人在計算圓周率時，一般是用割圓術(shù)，即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長．理論上，只要取得圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，圓周率越精確，直到無窮．這種思想就是樸素的極限思想． 問題 1：運(yùn)用上述思想能否計算球的表面積和體積？ 提示：可以． 問題 2：求球的表面積和體積需要什么條件？ 提示：已知球的半徑即可． [導(dǎo)入新知 ] 1．球的體積 設(shè)球的半徑為 R，則球的體積 V＝ ________. 2．球的表面積 設(shè)球的半徑為 R，則球的表面積 S＝ _______，即球的表面積等于它的大圓面積的 _____倍． 4 43πR3 4π R2 [ 化解疑難 ] 1 ． 一個關(guān)鍵 把握住球的表面積公式 S 球 ＝ 4π R2，球的體積公式 V 球 ＝43π R3是計算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件．把握住公式，球的體積與表面積計算的相關(guān)題目也就迎刃而解了． 2 ． 兩個結(jié)論 (1) 兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑之比的立方． (2) 兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑之比的平方． 球的體積與表面積 [例 1] 若圓錐與球的體積相等，且圓錐底面半徑與球的直徑相等，求圓錐側(cè)面積與球面面積之比． [ 解 ] 設(shè)圓錐的底面半徑為 r ，高為 h ，母線長為 l，球的半徑為 R ， 則由題意得????? 13π r2 ， OA ＝ R . 由勾股定理得 (R2)2＋ (9 24)2＝ R2. 解得 R ＝3 62. 故 S 球 ＝ 4 π R2＝ 54 π ， V 球 ＝43π R3＝ 27 6 π . [ 典例 ] ( 2020
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