新人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-3122組合(編輯修改稿)
2025-01-13 22:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 出 3件的組合數(shù)，所以共有 3100 100 99 981 2 3C ??? ??= 161700 （種） . (2）從 2 件次品 中抽出 1 件次品的抽法有 12C 種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 298C 種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 122 98CC? =9506(種 ). (3） 解法 1 從 100 件產(chǎn)品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1件次品和有 2 件次品兩種情況．在第（ 2）小題中已求得其中 1件是次品的抽法有 122 98CC? 種，因此根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有 122 98CC? + 212 98CC? =9 604 （種） . 解法 2 抽出的 3 件產(chǎn)品中至少有 1 件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從 100件中抽出 3 件的抽法種數(shù)減去 3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即 33100 98CC? =161 700152 096 = 9 604 （種） . 說(shuō)明： “ 至少 ”“ 至多 ” 的問(wèn)題，通常用分類(lèi) 法或間接法求解。 變式 ：按下列條件，從 12人中選出 5人，有多少種不同選法？ （ 1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選； （ 2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選； （ 3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選； （ 4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選； （ 5）甲、乙、丙三人至多 2人當(dāng)選； （ 6）甲、乙、丙三人至少 1人當(dāng)選； 例 9．（ 1） 6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙 3同學(xué)，每人各得 2本，有多少種不同的分法？ 解： 90222426 ??? CCC ． （ 2） 從 5 個(gè)男生和 4 個(gè)女生中選出 4 名學(xué)生參加一次會(huì)議， 要求至少有 2 名男生和 1 名女生參加，有多少種選法？ 解：?jiǎn)栴}可以分成 2類(lèi)： 第一類(lèi) 2名男生和 2名女生參加，有 225460CC? 中選法； 第二類(lèi) 3名男生和 1名女生參加，有 315440CC? 中選法 奎屯王新敞 新疆 依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有 100種選法 奎屯王新敞 新疆 錯(cuò)解： 2 1 15 4 6 240C C C ? 種選法 奎屯王新敞 新疆引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，可知重復(fù)的很多 奎屯王新敞 新疆 例 10． 4名男生和 6名女生組成至少有 1個(gè)男生參加的三人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，問(wèn)組成方法共有多少種？ 解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形： 3男， 2男 1女， 1男 2女，分別有 34C ， 1624 CC? ，2614 CC? ， 所以，一共有 34C + 1624 CC? + 2614 CC? ＝ 100種方法． 解法二：（間接法） 10036310 ??CC 奎屯王新敞 新疆 組合數(shù)的性質(zhì) 1： mnnmn CC ?? ． 一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素后，剩下 nm? 個(gè)元素．因?yàn)閺?n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的 n ? m個(gè)元素的每一個(gè)組合 一一對(duì)應(yīng) ． ． ． ． ，所以從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這 n個(gè)元素中取出 n ? m個(gè)元素的組合數(shù)，即：mnnmn CC ?? ．在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想 奎屯王新敞 新疆 證明：∵)!(! !)]!([)!( ! mnm nmnnmn nC mnn ??????? 又 )!(! ! mnm nCmn ??，∴ mnnmn CC ?? 奎屯王新敞 新疆 說(shuō)明：①規(guī)定： 10?nC ； ②等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)； ③此性質(zhì)作用：當(dāng) 2nm? 時(shí)，計(jì)算 mnC 可變?yōu)橛?jì)算 mnnC? ，能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化 . 例如 20212021C ＝ 202120212021?C ＝ 12021C =2021； ④ ynxn CC ? yx?? 或 nyx ?? ． 2． 組合數(shù)的性質(zhì) 2： mnC1? ＝ mnC + 1?mnC ． 一般地，從 121 , ?naaa ? 這 n+1個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù)是 mnC1? ，這些 組合可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)含有元素 1a ，一類(lèi)不含有 1a ．含有 1a 的組合是從 132 , ?naaa ?這 n 個(gè)元素中取出 m ?1 個(gè)元素與 1a 組成的，共有 1?mnC 個(gè)；不含有 1a 的組合是從132 , ?naaa ? 這 n個(gè)元素中取出 m個(gè)元素組成的，共有 mnC 個(gè)．根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)．在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類(lèi)思想． 證明：)]!1([)!1( !)!(! !1 ??????? ? mnm nmnm nCC mnmn )!1(! !)1(! ?? ???? mnm mnmn )!1(! !)1( ?? ???? mnm nmmn )!1(! )!1( ???? mnm n mnC1?? ∴ mnC1? ＝ mnC + 1?mnC ． 說(shuō)明：①公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差 1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多 1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù)； ②此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算 奎屯王新敞 新疆 例 11． 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的 7個(gè)白球和 1個(gè)黑球， （ 1）從口袋內(nèi)取出 3個(gè)球，共有多少種取法？ （ 2）從口袋內(nèi)取出 3個(gè)球，使其中含有 1個(gè)黑球，有多少種取法？ （ 3）從口袋內(nèi)取出 3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 解：（ 1） 5638 ?C ,或 ?38C ?27C 37C ，；（ 2） 2127 ?C ；（ 3） 3537 ?C ． 例 12． （ 1）計(jì)算： 6
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