高中數(shù)學(xué)選修4-5：42數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案(編輯修改稿)
2024-11-06 18:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 : 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小（大）值,則有f(x)179。f(a)（或f(x)163。f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 【例2】 當(dāng)x206。(0,1)時(shí),證明:(1+x)ln(1+x):本題是一個(gè)單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,:做函數(shù)f(x)=(1+x)ln(1+x)x,易得f(0)=0，221+x)2x,當(dāng)x=0時(shí),f39。(x)=0而f39。(x)=ln(1+x)+2ln(又得,f39。39。(x)=22ln(1+x)22+2=[ln(1+x)x]，1+x1+x1+x 當(dāng)x206。(0,1)時(shí),f39。39。(x)0∴f39。(x)在x206。(0,1)上遞減,即f39。(x)f39。(0)=0,即f(x)在(0,1)遞減∴f(x)f(0)=0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個(gè)關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,122163。xxy+y163。163。x+y163。2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x+ 換元法進(jìn)行嘗試,:因?yàn)?1163。 其中1163。2x2+y2163。2,所以可設(shè)x=rcosq,y=rsinq，22r2163。2,0163。q ∴xxy+y=rrsin2q=r(1sin2q)江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）Q163。1sin2q163。, 222121322 \r163。(1sin2q)r163。r 22232121 而r163。3,r179。 222122163。xxy+y163。3.\2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2+y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換,y進(jìn)行替換,【例4】 若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a ,b滿足0ab,求證:af(a)xf(x)，162。(x)+f(x)此時(shí)可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf \F162。(x)0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)f(b)\af(a)bf(b)Q0ab,\ 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出F(x),【例5】 設(shè)a,b,c,d206。R,且滿足(a+b+c)求證:ab+bc+ca2179。2(a2+b2+c2)+4d，179。3d分析:本題初看含有四個(gè)未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時(shí)必須從這條不等式入手,:把a(bǔ)看成未知量進(jìn)行化簡,得一元二次不等式+2(b+c)a+(bc)2+4d163。022xaf(x)=x+2(b+c)x+(bc)+4d用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上且當(dāng)x=a時(shí),f(a)163。=4(b+c)4[(bc)+4d]179。0\其判別式 Q江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）,c看成未知量,可得ca179。d,ab179。d疊加可得ab+bc+ca179。,得bc179?！締⒌稀?有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,【例6】 當(dāng)abe時(shí),證明a:要證ab,只要證lnababablnba,即證明blnaalnb0, 也就是要證明blnxxlnb,因此構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnxxlnb,然后只需要證明 證:要證ab,只要證lnabaf(x) xblnba即證blnaalnb0設(shè)f(x)=blnxxlnb(xbe),則f162。(x)= Qbe,xb \lnb1, \b1\f162。(x)0 xf(x)在(e,+165。)b\f(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb=0ba 即blnaalnb \ab.【啟迪】:在證明簡單不等式時(shí),可以采用求導(dǎo)等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函【例1】 若0x1,證明loga(1x)loga(1+x),(a0,a185。1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a1和0a1兩種情況來考慮:(1)當(dāng)0a1時(shí),Q01x1,11+x2\loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)+loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x1\loga(1x)0,得證.（2）當(dāng)a1時(shí),Q01x1,11+x2\ loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x122222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）\loga(1x)0,（1）（2）可得loga(1x)loga(1+x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,【例2】 設(shè)a,b206。R,且a0,b0,求證(ab)a+b22163。:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,:Qab0,(ab)aba+b20,\將不等式兩邊相除，ba2baa=()2 baabb 得(ab)a+b2=aab2bbaa2==b時(shí),()baab10, 當(dāng)0ba時(shí)，b2baaa02()()=,bbbaaa0aab2()()=1.10 當(dāng)0ab時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a+b2163。aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無法解決的問題時(shí)可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前提條件是不等式兩邊均要大于0,2n1an(n206。N)【例1】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn=12(1)設(shè)xn=(2n+1)sn,求證:數(shù)列{xn}+++..........+(2)當(dāng)n179。2時(shí),+1n+22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做第二小題時(shí),需要采用放縮來證明,(snsn1)證:(1)當(dāng)n179。2時(shí),sn=12江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）化簡,得(2n+1)sn=2+(2n1)sn1由已知條件得xn 其通項(xiàng)公式為xn \{xn}是以首項(xiàng)為x1=xn1+2,即xnxn1=2=2公差d=2的等差數(shù)
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