高中數(shù)學(xué)423直線與圓的方程的應(yīng)用教案新人教a版必修2(編輯修改稿)
2025-01-13 20:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 交點(diǎn) ,且面積最小的圓的方程 . 活動(dòng) :學(xué)生思考或交流 ,教師提示引導(dǎo) ,求圓的方程無非有兩種方法 :代數(shù)法和幾何法 . 解法一 :利用過兩曲線交點(diǎn)的曲線系 , 設(shè)圓的方程為 x2+y2+2x4y+1+λ(2 xy+3)=0, 配方得標(biāo)準(zhǔn)式 (x+1+λ) 2+(y22?)2=(1+λ) 2+(2+2?)23λ 1, ∵r 2=45λ 2+λ+4=45(λ+52)2+519, ∴ 當(dāng) λ= 52時(shí) ,半徑 r=519最小 . ∴ 所求面積最小的圓的方程為 5x2+5y2+6x18y1=0. 解法二 :利用平面幾何知識 , 以直線與圓的交點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2)連線為直徑的圓符合要求 . 由??? ????? ??? ,0142 ,03222 yxyxyx 消去 y,得 5x2+6x2=0. ∴ 判別式 Δ ＞ 0,AB中點(diǎn)橫坐標(biāo) x0= 2 21 xx ? =53 ,縱坐標(biāo) y0=2x0+3=59 , 即圓心 O′( 53 ,59 ). 又半徑 r=21 |x1x2|178。 221? =519, ∴ 所求面積最小的圓的方程是 (x+53 )2+(y59 )2=519 . 點(diǎn)評 :要熟練地進(jìn)行圓的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式之間的互化 ,這里配方法十分重要 ,方法二用到求弦長的公式 |AB|=|x1x2|178。 21 k? 。對于圓的弦長 ,還可以利用勾股定理求得 ,即|AB|= 22 dr ? ,其中 r為圓半徑 ,d為圓心到弦的距離 . 變式訓(xùn)練 設(shè)圓滿足 ① 截 y 軸所得弦長為 2,② 被 x 軸分成兩段弧 ,弧長之比為 3∶1, 在滿足條件①② 的所有圓中 ,求圓心到直線 l:x2y=0的距離最小的圓的方程 . 圖 4 解 :關(guān)鍵確定圓心坐標(biāo)和半徑 .如圖 4. 設(shè)圓心 A(a,b),則半徑 r= 2 |b|. 由截 y軸的弦長為 2,知 a2+1=r2=2b2, 又圓心 A到 l的距離 d=51|a2b|, ∴5d 2=a2+4b24ab≥a 2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)等號成立 . 這里由?????????,2,1,2222rbraba解得??????????????????.2,1,12,1,1rbarba或 ∴ 圓的方程為 (x1)2+(y1)2=2或 (x+1)2+(y+1)2=2. 例 2 已知 x,y 是實(shí)數(shù) ,且 x2+y24x6y+12=0,求 (1)xy 的最值 。(2)x2+y2的最值 。(3)x+y 的最值 。(4)xy的最值 . 活動(dòng)： 學(xué)生思考或交流 ,教師引 導(dǎo) ,數(shù)形結(jié)合 ,將代數(shù)式或方程賦予幾何意義 . 解 :(x2)2+(y3)2=1 表示以點(diǎn) C(2,3)為圓心 ,1為半徑的圓 . (1)xy 表示圓 C上的點(diǎn) P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn) O(0,0)連線的斜率 k, 故當(dāng) y=kx為圓 C的切線時(shí) ,k得最值 . ∵21|32| kk?? =1,∴k=2177。 32 3 . ∴ xy 的最大值為 2+32 3 ,最小值為 232 3 . (2)設(shè) x2+y2表示圓 C上的點(diǎn) P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn) O(0,0)連結(jié)的線段長的平方 ,故由平面幾何知識 ,知當(dāng) P為直線 OC與圓 C的兩交點(diǎn) P P2時(shí) ,OP12與 OP22分別為 OP2的最大值、最小值 . ∴x 2+y2的最大值為 ( 22
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