高中數(shù)學 423 直線與圓的方程的應用教案 新人教a版必修2-預覽頁
【正文】 v,則進攻隊員速度為 2v,設點 M 坐標為 (x,y),進攻隊員與防守隊員跑到點 M 所需時間分別為t1= vAM2 || ,t2= vBM|| . 若 t1＜ t2,則 |AM|＜ 2|BM|,即 2222 )(2)2( ayxayx ????? . 整理 ,得 x2+(y32 a)2＞ (32 a)2,這說明點 M應在圓 E:x2+(y32 a)2=(32 a)2以外 ,進攻隊員方能取勝 .設 AN 為圓 E的切線 ,N為切點 ,在 Rt△AEN 中 ,容易求出 ∠EAN=30176。(y 1+y2)=0(x1≠x 2). 設 P(x,y),則 x= 2 21 xx ? ,y= 2 21 yy ? . ∴M 、 N、 P、 A四點共線 , 2121 xx yy ?? = 12??xy (x≠1). ∴2x+ 12??xy 178。(4)xy的最值 . 活動： 學生思考或交流 ,教師引 導 ,數(shù)形結合 ,將代數(shù)式或方程賦予幾何意義 . 解 :(x2)2+(y3)2=1 表示以點 C(2,3)為圓心 ,1為半徑的圓 . (1)xy 表示圓 C上的點 P(x,y)與坐標原點 O(0,0)連線的斜率 k, 故當 y=kx為圓 C的切線時 ,k得最值 . ∵21|32| kk?? =1,∴k=2177。 21 k? 。 221? =519, ∴ 所求面積最小的圓的方程是 (x+53 )2+(y59 )2=519 . 點評 :要熟練地進行圓的一般式與標準式之間的互化 ,這里配方法十分重要 ,方法二用到求弦長的公式 |AB|=|x1x2|178。(3)x+y 的最值 。 2 . ∴x y的最大值為 1+ 2 ,最小值為 1 2 . 點評 :從 “ 數(shù) ” 中認識 “ 形 ”, 從 “ 形 ” 中認識 “ 數(shù) ”, 數(shù)形結合相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學思維的 基本方法之一 .“ 數(shù)學是一個有機 的統(tǒng)一體 ,它的生命力的一個必要條件是所有的各個部分不可分離地結合 .”( 希爾伯特 )數(shù)形結合的思維能力不僅是中學生的數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)的主要標志之一 ,而且也是學習高等數(shù)學和現(xiàn)代數(shù)學的基本能力 .本題是利用直線和圓的知識求最值的典型題目 . 例 3 已知圓 O的方程為 x2+y2=9,求過點 A(1,2)所作的弦的中點的軌跡 . 活動： 學生回想求軌跡方程的方法與步驟 ,思考討論 ,教師適時點撥提示 ,本題可利用平面幾何的知識 . 解法一 :參數(shù)法 (常規(guī)方法 ) 設過 A 的弦所在的直線方程為 y2=k(x1)(k 存在時 ),P(x,y),則??? ??? ?? ),2( ,922 kkxy yx 消y,得 (1+k2)x2+2k(2k)x+k24k5=0. ∴x 1+x2=1)2(2 2 ??kkk. 利用中點坐標公式及中點在直線上 ,得??????????????12,1)2(22kkykkkx(k 為參數(shù) ). ∴ 消去 k得 P 點的軌跡方程為 x2+y2x2y=0,當 k 不存在時 ,中點 P(1,0)的坐標也適合方程 . ∴P 的軌跡是以點 (21 ,1)為圓心 , 25 為半徑的圓 . 解法二 :代點法 (涉及中點問題可考慮此法 ) 設過點 A的弦 MN,M(x1,y1),N(x2,y2). ∵M 、 N在圓 O上 ,∴?????????.9,922222121yxyx .∴ 相減得 (x1+x2)+2121 xx yy ?? 178。 ③ 特殊與一般結合 :一般性寓于特殊性之中 ,特殊化與一般化是重要的數(shù)學思維方法
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