人教a版高中數學必修二421《直線與圓的位置關系（2）》word教案-預覽頁
【正文】 、 新知探究 、 提出問題 ① 過圓上一點可作幾條切線？如何求出切線方程？ ② 過圓外一點可作幾條切線？如何求出切線方程？ ③ 過圓內一點可作幾條切線？ ④ 你能概括出求圓切線方程的步驟是什么嗎？ ⑤ 如何求直線與圓的交點？ ⑥ 如何求直線與圓的相交弦的長 ? 討論結果： ① 過圓上一點可作一條切線 ,過圓 x2+y2=r2 上一點 (x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2； 過圓 (xa)2+(yb)2=r2上一點 (x0,y0)的切線方程是 (x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2. ② 過圓外一點可作兩條切線 ,求出切線方程有代數法和幾何法 .代數法的關鍵是把直線與圓相切這個幾何問題轉化為聯立它們的方程組只有一個解的代數問題 .可通過一元二次方程有一個實根的充要條件 ——Δ=0去求出 k的值 ,從而求出切線的方程 .用幾何方法去求解 ,要充分利用直線與圓相切的幾何性質 ,圓心到切線的距離等于圓的半徑 (d=r),求出 k 的值 . ③ 過圓內一點不能作圓的切線 . ④ 求圓切線方程 ,一般有三種方法 ,一是設切點 ,利用 ①② 中的切線公式法 。再就是利用弦心距、弦長、半徑之間的關系來求 . （三） 應用示例 思路 1 例 1 過點 P(2,0)向圓 x2+y2=1 引切線 ,求切線的方程 . 圖 3 解 :如圖 3,方法一 :設所求切線的斜率為 k, 則切線方程為 y=k(x+2),因此由方程組????? ?? ?? ,1),2(22 yxxky 得 x2+k2(x+2)2=1. 上述 一元二次方程有一個實根 , Δ=16k44(k2+1)(4k21)=12k24=0,k=177。33 (x+2). 方法三：利用過圓上一點的切線的結論 .可假設切點為 (x0,y0),此時可求得切線方程為x0x+y0y=1. 然后利用點 (2,0)在切線上得到 2x0=1,從中解得 x0=21 . 再由點 (x0,y0)在圓上 ,所以滿足 x02+y02=1,既 41 +y02=1,解出 y0=177。r 21 k? . 方法二 :設所求的直線方程為 y=kx+b,直線 l與圓 x2+y2=r2只有一個公共點 ,所以它們組成的方程組只有一組實數解 ,由????? ?? ??222,ryxbkxy ,得 x2+k2(x+b)2=1,即 x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0得b=177。x 2 ］ =80. ② 把 ① 式代入 ② 式 ,得 (1+k2){［21 )13(2 kkk ? ??］ 24221 25)13( kk ? ?? }= ,得2k23k2=0,解得 k= 21 ,k= l 的方程為 y+3= 21 (x+3)或 y+3=2(x+3),即x+2y+9=0 或 2xy+3=0. 點評 :解法一突出了適當地利用圖形的幾何性質有助于簡化計算 ,強調圖形在解題中的作用 ,加強了數形結合 。 (4)若定點 P(1,1)分弦 AB 為PBAP=21,求此時直線 l的方程 . 解 :(1)判斷圓心到直線的距離小于半徑即可 ,或用直線系過定點 P(1,1)求解 。|OC|=2221 )1(24 k kk? ?? ， ∵ |AB|＞ 0,∴ 1＜ k＜ 1(k≠0). ∴ S(k)=`2221 )1(24 k kk? ?? (1＜ k＜ 1 且 k≠0). ②△ ABO 的面積 S=21 |OA| 22)1( yx ?? , 整 理 得 x2+y2 － 6x+1=0. ① 因為點 N 到 PM的距離為 1,|MN|=2,所以 ∠ PMN=3
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