高中數(shù)學(xué) 422-423 圓與圓的位置關(guān)系 直線與圓的方程的應(yīng)用課件 新人教a版必修2-預(yù)覽頁
【正文】 2) 建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而在實(shí)際問題中建立直線與曲線的方程； ( 3) 利用直線與圓的方程的有關(guān)知識(shí)求解問題； ( 4) 把代數(shù)結(jié)果還原為實(shí)際問題的解． [ 活學(xué)活用 ] 3 ．某公園有 A 、 B 兩個(gè)景點(diǎn)，位于一條小路 ( 直道 ) 的同 側(cè)，分別距小路 2 k m 和 2 2 k m ，且 A 、 B 景點(diǎn)間相距 2 k m ，今欲在該小路上設(shè)一觀景點(diǎn)，使兩景點(diǎn)在同時(shí)進(jìn)入視線時(shí)有最佳觀賞和拍攝效果，則觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在何處？ 解： 所選觀景點(diǎn)應(yīng)使對兩景點(diǎn)的視角最大．由平面幾何知識(shí)知，該點(diǎn)應(yīng)是過 A 、 B 兩點(diǎn)的圓與小路所在的直線相切時(shí)的切點(diǎn)．以小路所在直線為 x 軸， B 點(diǎn)在 y 軸正半軸上建立平面直角坐標(biāo)系． 由題意，得 A ( 2 ， 2 ) ， B ( 0,2 2 ) ， 設(shè)圓的方程為 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ b2，由 A 、 B 兩點(diǎn)在圓上，得????? a ＝ 0 ，b ＝ 2或????? a ＝ 4 2 ，b ＝ 5 2 ，由實(shí)際意義知 a ＝ 0 ， b ＝ 2 ， ∴ 圓的方程為 x2＋ ( y － 2 )2＝ 2 ，切點(diǎn)為 ( 0,0) ， ∴ 觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在 B 景點(diǎn)在小路的投影處 . 直線與圓的方程在平面幾何中的應(yīng)用 [ 例 4] 如圖所示，在圓 O 上任取 C 點(diǎn)為圓心，作圓 C 與 圓 O 的直徑 AB 相切于 D ，圓 C 與 圓 O 交于點(diǎn) E ， F ，且 EF 與 CD 相交于 H .求證： EF 平分CD . ∴ 圓 O ： x2＋ y2＝ r2， [ 證明 ] 以 AB 所在直線為 x 軸， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．如圖所示，設(shè) | AB |＝ 2 r ， D ( a, 0) ，則 | CD |＝ r 2 － a 2 ， ∴ C ( a ， r 2 － a 2 ) ， 圓 C ： ( x － a )2＋ ( y － r2－ a2)2＝ r2－ a2. 兩方程作差得直線 EF 的方程為 2 ax ＋ 2 r2－ a2y ＝ r2＋ a2. 令 x ＝ a ，得 y ＝12r2－ a2， ∴ H??????a ，12r2－ a2，即 H 為 CD 中點(diǎn)， ∴ EF 平分 CD . [ 類題通法 ] 直線與圓的方程在平面幾何中的應(yīng)用 通常要用坐標(biāo)法來解決，具體步驟如下： (1) 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題的幾何元素，將實(shí)際或平面問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題． (2) 通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題． (3) 把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果 “ 翻譯 ” 成實(shí)際或幾何結(jié)論． [ 活學(xué)活用 ] 4 ．在平行四邊形 A BC D 中，用坐標(biāo)法證明： | AB |2＋ | BC |2＋ | CD |2＋ | DA |2＝ | AC |2＋ | BD |2. 證明： 以 CA 所在的直線為 x 軸， 線段 CA 的中點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立 如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． 設(shè) A ( a, 0) ， B ( b ， c ) ，則 C ( － a, 0) ， D ( － b ，－ c ) ． | AB |2＋ | BC |2＋ | CD |2＋ | DA |2 ＝ 2( | AB |2＋ | BC |2) ＝ 2 [( b － a )2＋ c2＋ ( － a － b )2＋ ( － c )2] ＝ 4 a2＋ 4 b2＋ 4 c2， | BD |2＋ | AC |2＝ ( － b － b )2＋ ( － c － c )2＋ ( － a － a )2 ＝ 4 a2＋ 4 b2＋ 4 c2. | AB |2＋ | BC |2＋ | CD |2＋ | DA |2 ＝ | AC |2＋ | BD |2. 1 1. 由兩圓相切求圓的方程 [ 典例 ] 求半徑為 4 ，與圓 x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y － 4 ＝ 0 相切，且和直線 y ＝ 0 相切的圓的方程． [ 解題流程 ] 欲求圓的方程，需求圓心坐標(biāo) . 由直線與圓相切，兩圓相切，求圓心坐標(biāo) . 設(shè)出圓的方程 ― → 根據(jù)兩圓內(nèi)切或外切列等式 ― → 根據(jù)和直線 y ＝ 0 相切求圓心橫坐標(biāo) ― → 得出結(jié)論 . [ 規(guī)范解答 ] [名師批注 ] 由題意，設(shè)所求圓 C 的方程為 ? x － a ?2＋ ? y － b ?2＝16. 因?yàn)閳A C 與直線 y ＝ 0 相切，且半徑為 4 ，故 b ＝ 17
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