高中數(shù)學(xué)422-423圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的方程的應(yīng)用課件新人教a版必修2-在線瀏覽
2025-01-21 08:10本頁面
【正文】 ， 其圓心為????????－31 ＋ λ，－3 λ1 ＋ λ，代入 x － y － 4 ＝ 0 ，求得 λ＝－ 7. 故所求圓的方程為 x2＋ y2－ x ＋ 7 y － 32 ＝ 0. [ 類題通法 ] 1 ． 圓系方程 一般地過圓 C1： x2＋ y2＋ D1x ＋ E1y ＋ F1＝ 0 與圓 C2：x2＋ y2＋ D2x ＋ E2y ＋ F2＝ 0 交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為： x2＋y2＋ D1x ＋ E1y ＋ F1＋ λ ( x2＋ y2＋ D2x ＋ E2y ＋ F2) ＝ 0( λ ≠ － 1)然后再由其他條件求出 λ ，即可得圓的方程． 2 ． 兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程 若圓 C1： x2＋ y2＋ D1x ＋ E1y ＋ F1＝ 0 與圓 C2： x2＋ y2＋ D2x＋ E2y ＋ F2＝ 0 相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為 ( D1－D2) x ＋ ( E1－ E2) y ＋ F1－ F2＝ 0. 3 ． 公共弦長的求法 ( 1) 代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長． ( 2) 幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解． [ 活學(xué)活用 ] 2 ．已知圓 C 1 ： x2＋ y2＋ 2 x － 6 y ＋ 1 ＝ 0 ，與圓 C 2 ： x2＋ y2 － 4 x ＋ 2 y － 11 ＝ 0 相交于 A ， B 兩點(diǎn)，求 AB 所在的直線方程和公共弦 AB 的長． 解： 由圓 C 1 的方程減去圓 C 2 的方程，整理，得方程3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 ，又由于方程 3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 是由兩圓相減得到的，即兩圓交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是方程 3 x － 4 y＋ 6 ＝ 0 的解．因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，故 3 x － 4 y ＋ 6＝ 0 是兩圓公共弦 AB 所在的直線方程． ∵ 圓 C1： x2＋ y2＋ 2 x － 6 y ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ 圓心為 C1( － 1,3) ，半徑 r ＝ 3 ， ∴ 圓心 C1到直線 AB 的距離 d ＝│ － 3 － 12 ＋ 6 │25＝95， ∴ │ AB │ ＝ 2 r2－ d2＝ 2 9 － ?95?2＝245. ∴ AB 所在的直線方程為 3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 ，公共弦 AB 的長為245. 直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用 [ 例 3] 有一種大型商品， A 、 B 兩地均有出售且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購得商品運(yùn)回來，每公里的運(yùn)費(fèi) A 地是 B 地的兩倍，若 A ， B 兩地相距 10 公里，顧客選擇 A地或 B 地購買這種商品的運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，那么不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點(diǎn)？ [ 解 ] 以 AB 所在直線為 x 軸， 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸，建立 直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè) A ( － 5 ,0) ，則 B (5,0) ．在坐標(biāo)平面內(nèi)任取一點(diǎn) P ( x ， y ) ，設(shè)從 A 運(yùn)貨到 P地的運(yùn)費(fèi)為 2 a 元 / k m ，則從 B 運(yùn)貨到 P 地運(yùn)費(fèi)為 a 元 / k m . 若 P 地居民選擇在 A 地購買此商品， 則 2 a ? x ＋ 5 ?2＋ y2＜ a ? x － 5 ?2＋ y2， 整理得 ( x ＋253)2＋ y2＜ (203)2. 即點(diǎn) P 在圓 C ： ( x ＋253)2＋ y2＝ (203)2的內(nèi)部． 也就是說，圓 C 內(nèi)的居民應(yīng)在 A 地購物． 同理可推得圓 C 外的居民應(yīng)在 B 地購物． 圓 C 上的居民可隨意選擇 A 、 B 兩地之一購物． [ 類題通法 ] 求直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用問題的解題步驟． ( 1) 認(rèn)真審題，明確題意； ( 2) 建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而在實(shí)際問題中建立直線與曲線的方程； ( 3) 利用直線與圓的方程的有關(guān)知識(shí)求解問題； ( 4) 把代數(shù)結(jié)果還原為實(shí)際問題的解． [ 活學(xué)活用 ] 3 ．某公園有 A 、 B 兩個(gè)景點(diǎn)，位于一條小路 ( 直道 ) 的同 側(cè)，分別距小路 2 k m 和 2 2 k m ，且 A 、 B 景點(diǎn)間相距 2 k m ，今欲在該小路上設(shè)一觀景點(diǎn)，使兩景點(diǎn)在同時(shí)進(jìn)入視線時(shí)有最佳觀賞和拍攝效果，則觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在何處？ 解： 所
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