上海教育版高中數(shù)學二上81向量的坐標表示及其運算(編輯修改稿)
2025-01-13 10:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ?1, 2c OB? ? ? [說明 ] 對于位置向量 a ，它的終點的坐標就是向量的坐標；對于起點不在原點的向量,bc，我們是通過先找到與它相等的位 置向量，再利用位置向量的坐標得到它們的坐標 .那么，有沒有不通過位置向量，直接就寫出任意向量的坐標的方法呢？答案是肯定的，而且很簡便，但我們需幾分鐘后再來解決這個問題 .讓我們先學習向量坐標表示的運算： 我們學過向量的運算，知道向量有加法、減法、實數(shù)與向量的乘法等運算，那么，在學習了向量的坐標表示以后，我們怎么用向量的坐標形式來表示這些運算呢？ 設 ? 是一個實數(shù)， 1 1 2 2( , ) , ( , ) .a x y b x y?? 由于 1 1 1 1( , ) ,a x y x i y j? ? ? 2 2 2 2( , )b x y x i y j? ? ? 所以 1 1 2 2( , ) ( , )a b x y x y? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2x i y j x i y j? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 21 2 1 21 2 1 2,x i x i y j y jx x i y y jx x y y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1 1( , ) ,a x y x i y j x i y j x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 于是有： 1 1 2 2( , ) ( , )x y x y? ? ?1 2 1 2,x x y y? ? ? ? ?1 1 1 1( , ) ,x y x y? ? ?? [說明 ]上面第一個式子用語言可表述為：兩個向量的和 (差 )的橫坐標等于它們對應的橫坐標的和 (差 )，兩個向量的和 (差 )的縱坐標也等于它們對應的縱坐標的和 (差 )，可籠統(tǒng)地簡稱為：兩個向量和 (差 )的坐標等于對應坐標的和 (差 )； 同樣，第二個式子用語言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標等于數(shù)與向量的橫坐標的積，數(shù)與向量的積的縱坐標等于數(shù)與向量的縱坐標的積，也可籠統(tǒng)地簡稱為：數(shù)與向量積的坐標等于數(shù)與向量對應坐標的積 . 下面我們來研究剛才提出的不通過位置向量，如何直接寫出任意向量的坐標的問題： 21世紀教育網(wǎng) 例 ，設 ? ?11,P x y 、 ? ?22,Q x y 是平面直角坐標系內(nèi)的任意兩點，如何用P、 Q的坐標來表示向量 PQ ？ 解： 如上圖右，向量 PQ OQ OP?? ? ? ? ?? ?2 2 1 12 1 2 1,x y x yx x y y??? ? ? 從而有 ? ?2 1 2 1,P Q x x y y? ? ? [說明 ]上面這個式子告訴我們：平面直角坐標系內(nèi)的任意向量的橫坐標等于它終點的橫坐標與它起點的橫坐標的差，縱坐標也等于它終點的縱坐標與它起點的縱坐標的差，可簡稱為“任意向量坐標 =終點坐標 起點坐標” . 例 3.（課本例題）如圖，平面上 A、 B、 C三點的坐標分別為 ? ?2,1 、 ? ?3,2? 、 ? ?1,3? . （ 1）寫出向量 ,ACBC 的坐標； （ 2）如果四邊形 ABCD是平行四邊形，求 D的坐標 . 解： （ 1） ? ? ? ?1 2 , 3 1 3 , 2AC ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 3 , 3 2 2 , 1BC ? ? ? ? ? ? （ 2）在上圖中，因為四邊形 ABCD是平行四邊形，所以 DC AB? 設點 D的坐標為 ? ?,DDxy ，于是有 ? ?1 , 3DDx y A B? ? ? ? 又 ? ? ? ?3 2 , 2 1 5 ,1AB ? ? ? ? ? ? 故 ? ? ? ?1 , 3 5 ,1DDxy? ? ? ? ? 由此可得 1531DDxy
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