上海教育版高中數(shù)學(xué)二上81向量的坐標(biāo)表示及其運算-文庫吧資料
2024-12-16 10:02本頁面
【正文】 隊員 A位于點 F處，隊員 B在邊 FG上距 F點 3米處，隊員 D位于距 EF邊 2米距 FG邊 5米處 .你能確定此時隊員 C的位置嗎？ EFGHHGFE圖 2圖 18 m10 mDCBAD CBA10 m8 m [說明 ] 此時隊員 C 在位于距 EF邊 5米距 FG 邊 5 米處 .這個圖形比較特殊，學(xué)生很快就會得到答案，這時教師引入第二個問題 . （ 2）若在某時刻 2t ，四名隊員 A、 B、 C、 D保持如圖 2所示的平行四邊形隊形 .隊員 A位于距 EF 邊 2米距 FG 邊 1米處，隊員 B 在距 EF 邊 6米距 FG 邊 3米處，隊員 D 位于距 EF邊 4米距 FG邊 5米處 .你能確定此時隊員 C的位置嗎？ [說明 ] 不要求學(xué)生寫出結(jié)果，只引導(dǎo)學(xué)生思考 .這個圖形更為一般一些，學(xué)生解決的 可能不是很順，這時，教師就可以說，這一節(jié)我們就來學(xué)習(xí)一個新的內(nèi)容：向量的坐標(biāo)表示及其運算，學(xué)習(xí)了這個內(nèi)容之后，同學(xué)們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時間就可以解決這個問題了，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與探究的欲望 . 二．學(xué)習(xí)新課 1. 向量的正交分解 我們稱在平面直角坐標(biāo)系中，方向與 x軸和 y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量 ，分別記為 ,ij，如圖，稱以原點 O為起點的向量為 位置向量 ，如下圖左， OA即為一個位置向量 . 思考 1： 對于任一位置向量 OA ，我們能用基本單位向量 ,ij來表示它嗎？ 如上圖右，設(shè)如果點 A的坐標(biāo)為 ? ?,xy ，它在小 x 軸， y軸上的投影分別為 M， N，那么向量 OA 能用向量 OM 與 ON 來表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得OA OM ON??）， OM 與 ON 能用基本單位向量 ,ij來表示嗎？（依向量與實數(shù)相乘的幾何意義可得 ,O M xi O N y j??），于是可得： O A O M O N x i y j? ? ? ? 由上面這個式子，我們可以看到：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一位置向量 OA 都能表示成兩個相互垂直的基本單位向量 ,ij的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解 . 思考 2： 對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個向量 a ，我們都能將它正交分解為基本單位向量 ,ij的線性組合嗎？如下圖左 . 顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點 O為起點作一位置向量 OA ，使 OA a? .于是，可知：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個向量 a 都存在一個與它相等的位置向量 OA .由于這一點，我們研究向量的性質(zhì)就可以通過研究其相應(yīng)的位置向量來實現(xiàn) .由于任意一個位置向量都可以正交分解為基本單位向量 ,ij的線性組合，所以平面內(nèi)任意的一個向量 a 都可以正交分解為基本單位向量 ,ij的線性組合 .即： a =OA =xi yj? 上式中基本單位向量 ,ij前面的系數(shù) x,y 是與向量 a 相等的位置向量 OA 的終點 A 的坐標(biāo) .由于基本單位向量 ,ij是固定不可變的，為了簡便，通常我們將系數(shù) x,y 抽取出來，得到有序?qū)崝?shù)對（ x,y） .可知有序?qū)崝?shù)對（ x,y）與向量 a 的位置向量 OA 是一一對應(yīng)的 .因而可用有序?qū)崝?shù)對（ x,y）表示向量 a ，并稱（ x,y）為向量 a 的坐標(biāo)，記作： a =（ x,y） [說明 ]（ x,y）不僅是向量 a 的坐標(biāo)，而且也是與 a 相等的位置向量 OA 的終點 A的坐標(biāo)！當(dāng)將向量 a 的起點置于坐標(biāo)原點時， 其終點 A 的坐標(biāo)是唯一的，所以向量 a 的坐標(biāo)也是唯一的 .這樣，我們就將點與向量、向量與坐標(biāo)統(tǒng)一起來，使復(fù)雜問題簡單化 . 顯然，依上面的表示法，我們有： (1 , 0) , ( 0 ,1 ) , 0 ( 0 , 0)ij? ? ?. 例 1.（課本例題）如圖，寫出向量 ,abc的坐標(biāo) . 解： 由圖知 ? ?1,2a? 與向量 b 相等的位置向量為 OA ， 可知 ? ?1,2b OA?? 與向量 c 相等的位置向量為 OB ， 可知
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