高中數學北師大版選修2-1第二章33空間向量運算的坐標表示(編輯修改稿)
2024-12-24 08:08 本頁面
【文章內容簡介】 [例 2] 如圖所示，在棱長為 a的正方體 ABCD－A1B1C1D1中，以 D為坐標原點， DA， DC， DD1分別為 x，y， z軸建立空間直角坐標系．過 B作 BM⊥ AC1于 M，求點M的坐標． [思路點撥 ] 寫出 A， B， C1的坐標，設出 M的坐標，利用條件 BM⊥ AC1及 M在 AC1上建立方程組，求解． [ 精解詳析 ] 法一： 設 M ( x ， y ， z ) ，由圖可知： A ( a, 0,0) ，B ( a ， a, 0) ， C1(0 ， a ， a ) ，則 1AC＝ ( － a ， a ， a ) ， AM ＝ ( x － a ， y ， z ) ， BM ＝ ( x － a ， y － a ， z ) ． ∵ BM ⊥1AC， ∴ BM 1AC＝ 0 ， ∴ － a ( x － a ) ＋ a ( y － a ) ＋ az ＝ 0 ，即 x － y － z ＝ 0. ① 又 ∵1AC∥ AM ， ∴ x － a ＝－ λa ， y ＝ λa ， z ＝ λa ， 即 x ＝ a － λa ， y ＝ λa ， z ＝ λa . ② 由 ①② 得 x ＝2 a3， y ＝a3， z ＝a3. ∴ M??????2 a3，a3，a3. 法二 ： 設 AM ＝ λ1AC＝ ( － aλ ， aλ ， aλ ) ， ∴ BM ＝ BA ＋ AM ＝ (0 ，－ a, 0) ＋ ( － aλ ， aλ ， aλ ) ＝ ( － aλ ， aλ － a ， aλ ) ． ∵ BM ⊥ AC1， ∴ BM 1AC＝ 0 即 a2λ ＋ a2λ － a2＋ a2λ ＝ 0 ，解得 λ ＝13， ∴ AM ＝??????－a3，a3，a3， DM ＝ DA ＋ AM ＝??????2 a3，a3，a3. ∴ M 點坐標 (2 a3，a3，a3) ． [一點通 ] 用坐標運算解決向量平行、垂直有關問題，要注意以下兩個等價關系的應用： (1)若 a＝ (x1， y1， z1)， b＝ (x2， y2， z2)， (b為非零向量 )，則 a∥ b?x1＝ λx2，且 y1＝ λy2且 z1＝ λz2(λ∈ R)．若 b＝ 0時，必有 a∥ b，必要時應對 b是否為 0進行討論． (2)a⊥ b?x1x2＋ y1y2＋ z1z2＝ 0. 4．已知 a＝ (1，－ 5,6)， b＝ (0,6,5)，則 a與 b ( ) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解析： ab＝ 0－ 30＋
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