高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換本章知識(shí)整合蘇教版必修4(編輯修改稿)
2025-01-13 05:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3－ 2mm1－ m－ 2m＝ 3－ 2m2 ＝ 32－ m≥ 32－ 94＝－ 34. 故 tan(α ＋ β )的最小值為－ 34. ◎ 規(guī)律總結(jié)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程 ， 這一點(diǎn)務(wù)必引起高度重視．特別是綜合題 ， 條件的使用順序和轉(zhuǎn)化 ， 以及知識(shí)之間的聯(lián)系 ， 在平時(shí)的訓(xùn)練中都要認(rèn) 真體會(huì)和總結(jié)． 變式訓(xùn)練 3． 如下圖 ， 三個(gè)相同的正方形相接 ， 試計(jì)算 α ＋ β 的大?。? 解析： 本題的實(shí)質(zhì)是已知 tan α ＝ 13， tan β ＝ 12， 且 α ， β ∈ ??? ???0， π2 ， 求 α ＋ β . 可通過(guò)求 tan(α ＋ β )及 (α ＋ β )的范圍來(lái)求得 α ＋ β . 由圖可知： tan α ＝ 13， tan β ＝ 12且 α ， β 均為銳角． ∴ tan(α ＋ β )＝ tan α ＋ tan β1－ tan α 178。 tan β ＝13＋121－ 13179。 12＝ 1. 而 α ＋ β ∈(0 ，π )， 在 (0，π )上正切值等于 1的角只有 π4 ， ∴ α ＋ β ＝ π4 . 規(guī)律總結(jié)：已知三角函數(shù)值求角 ， 分三步進(jìn)行： ① 先求角 α ＋ β 的某一三角函數(shù)值；② 確 定角所在范圍 (或區(qū)間 )； ③ 求角的值． 化簡(jiǎn) 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是三角變換應(yīng)用的一個(gè)重要方面 ， 其基本思想方法是統(tǒng)一角 ， 統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱(chēng)．在具體實(shí)施過(guò)程中 ， 應(yīng)著重抓住 “ 角 ” 的統(tǒng)一．通過(guò)觀察角、函數(shù)名、項(xiàng)的次數(shù)等 ，找到突破口，利用切化弦、升冪、降冪、逆用公式等手段將其化簡(jiǎn)． 最后結(jié)果要求：(1)能 求值盡量求值； (2)三角函數(shù)名稱(chēng)盡量少； (3)項(xiàng)數(shù)盡量少； (4)次數(shù)盡量低； (5)分母、根號(hào)下盡量不含三角函數(shù)． 化簡(jiǎn)： tan 70176。 cos 10176。178。 ( 3tan 20176。 － 1)． 分析：先化切為弦 ， 再利用特殊角的特殊值進(jìn)行轉(zhuǎn)換． 解析： tan 70176。 cos 10176。178。 ( 3tan 20176。 － 1) ＝ sin 70176。cos 70176。 178。 cos 10176。178。 ??? ???3178。 sin 20176。cos 20176。 － 1 ＝ 3cos 10176。 － cos 10176。178。 sin 70176。cos 70176。 ＝ 3cos 10176。 － cos 10176。 cos 20176。2sin 10176。 cos 10176。 ＝ 3sin 20176。 － cos 20176。2sin 10176。 ＝ sin 20176。 cos 30176。 － cos 20176。 sin 30176。sin 10176。 ＝ sin（ 20176。 － 30176。 ）sin 10176。 ＝－ 1. ◎ 規(guī)律總結(jié)：在三角變換中 ， 有 時(shí)根據(jù)需要 ， 可以將一特殊值還原成某一三角函數(shù)值 ，如： 12＝ sin π6 ＝ cos π3 ； 1＝ tan π4 ＝ sin π2 ＝ 2cos π4 ＝ sin2α ＋ cos2α 等 ， 如果我們?cè)诮忸}時(shí)巧妙地加以運(yùn)用 ， 往往會(huì)出奇制勝． 證明題 三角恒等式的證明主 要有兩種類(lèi)型：絕對(duì)恒等式與條件恒等式． 證明絕對(duì)恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征 ， 采取化繁為簡(jiǎn) ， 左右歸一 ， 變更命題等方法 ，通過(guò)三角恒等變換 ， 使 等式的兩邊化異為同． 條件恒等式的證明則要認(rèn)真觀察、比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系 ， 選擇適當(dāng)途徑 ，常用代入法、消去法、兩頭湊法等． 證明： tan 32x－ tan x2＝ 2sin xco
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