蘇教版必修5高中數(shù)學(xué)第3章不等式章末知識(shí)整合(編輯修改稿)
2025-01-10 03:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 通過(guò)函數(shù)的形式把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái) ， 運(yùn)用函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)等對(duì)問(wèn)題加以研究 ， 使問(wèn)題獲 得解決． 方程思想是指將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)方程 (組 )的認(rèn)識(shí) ， 通過(guò)解方程或?qū)Ψ匠痰挠懻撌箚?wèn)題得以解決． 函數(shù)與方程二者密不可分 ， 如函數(shù)解析式 y＝ f(x)也可看作方程．函數(shù)有意義則方程有解 ， 方程有解則函數(shù)有意義等．函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了靜與動(dòng) ， 變量與常量的辯 證統(tǒng)一 ， 是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一．具體包括： ① 利用函數(shù)圖象討論方程解的個(gè)數(shù)及分布情況 ， 討論不等式的取值情況； ② 利用函數(shù)解決代數(shù)、解析幾何中有關(guān)取值范圍、交點(diǎn)數(shù)目等問(wèn)題 ， 以及函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用； ③ 利用方程解決 有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題． 函數(shù)、方程、不等式三者密不可分 ， 從求解一 元二次不等式的過(guò)程中可見一斑． 在不等式問(wèn)題中 ， 很多可以從函數(shù)的角度進(jìn)行求解．如 f(x)＞ a恒成立等價(jià)于 f(x)min＞ a. ?變式遷移 3． 求證： sin2 x＋ 4sin2 x≥ 5. 證明： 設(shè) sin2x＝ t， 原式變形為 f(t)＝ t＋ 4t， 則 f(t)在 t∈(0 ， 1]時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)． ∵ 0＜ sin2 x≤ 1， ∴ 當(dāng) sin2 x＝ 1， 即 t＝ 1時(shí) ， f(t)有最小值 ， f(t)min＝ 5. ∴ f(t)＝ t＋ 4t≥ 5， 即 sin2 x＋ 4sin2 x≥ 5. 4． 定義在 (－ 1， 1)上的奇函 數(shù) f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù) ， 且 f(1－ a)＋ f(1－ a2)＜ 0， 求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 解析： 由 f(1－ a)＋ f(1－ a2)＜ 0得 f(1－ a)＜－ f(1－ a2)＝ f(a2－ 1)， ∴?????－ 1＜ 1－ a＜ 1，1－ a＞ a2－ 1，－ 1＜ 1－ a2＜ 1?0＜ a＜ 1. ∴ a的取值范圍是 (0， 1)． 題型 3 分類討論思想的應(yīng)用 例 3 解關(guān)于 x的不等式 (m＋ 3)x2＋ 2mx＋ m－ 2＞ 0(m∈R) ． 分析： 從形式上看是二次 不等式 ，故須對(duì) m＋ 3討論 ， 討論它是不是一元二次不等式． 解析： (1)當(dāng) m＝－ 3時(shí) ， 原不等式化為－ 6x－ 5＞ 0， 故原不等式的解集是 ??? ???－ ∞ ， － 56 . (2)當(dāng) m≠ － 3時(shí) ， Δ ＝ 4m2－ 4(m＋ 3)(m－ 2)＝ 4(6－ m)． ① 當(dāng) m＝ 6時(shí) ， 則原不等式等價(jià)于 (3x＋ 2)2＞ 0， 故原不等式的解集是 ??? ???－ ∞ ， － 23 ∪ ??? ???－ 23， ＋ ∞ . ② 當(dāng) m＞ 6時(shí)
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