高中數(shù)學(xué)北師大版必修5第3章3基本不等式第2課時(shí)基本不等式與最大(小)值同步練習(xí)(編輯修改稿)
2025-01-10 06:35 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 ＝－ [ 43－ x＋ (3－ x)]＋ 3 ≤ － 2 43－ x － x ＋ 3＝－ 1， 當(dāng)且僅當(dāng) 43－ x＝ 3－ x，即 x＝ 1時(shí)取 “ ＝ ” 號(hào)． ∴ f(x)的最大值為－ 1. 三、解答題 9．已知 a、 b、 c∈ (0，＋ ∞) ，且 a＋ b＋ c＝ 1， 求證： (1a－ 1)(1b－ 1)(1c－ 1)≥8. [證明 ] ∵ a＋ b＋ c＝ 1，代入不等式的左端， ∴ (1a－ 1)(1b－ 1)(1c－ 1) ＝ (a＋ b＋ ca － 1)(a＋ b＋ cb － 1)(a＋ b＋ cc － 1) ＝ (ba＋ ca)(ab＋ cb)(ac＋ bc) ＝ ac＋ bc＋ ba＋ ca＋ ab＋ cb＋ 2 ＝ (ba＋ ab)＋ (cb＋ bc)＋ (ca＋ ac)＋ 2. ∵ a、 b、 c∈ (0，＋ ∞) ， ∴ ab＋ ba≥2 ， cb＋bc≥2 ，ca＋ac≥2 ， ∴ (ab＋ ba)＋ (cb＋ bc)＋ (ca＋ ac)≥6 ， ∴ (1a－ 1)(1b－ 1)(1c－ 1)≥8 ， 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ c＝ 13時(shí)，等號(hào)成立． 10． 設(shè) a≥0 ， b≥0 ， a2＋ b22＝ 1，求 a 1＋ b2的最大值． [解析 ] ∵ a2＋ b22＝ 1， ∴ a2＋ 1＋ b22 ＝32， a 1＋ b2＝ 2 a 1＋ b22 ≤ 2a2＋ 1＋ b222 ＝ 2322＝3 24 . ∴ 當(dāng) a2＋ b22＝ 1且 a＝1＋ b22 ， 即 a＝ 22 ， b＝ 63 時(shí)， a 1＋ b2的最大值為 3 24 . 一、選擇題 1．已知函數(shù) f(x)＝ |lgx|，若 a≠ b，且 f(a)＝ f(b)，則 a＋ b的取值范圍是 ( ) A． (1，＋ ∞) B． [1，＋ ∞) C． (2，＋ ∞) D． [2，＋ ∞) [答案 ] C [解析 ] 由條件得 |lga|＝ |lgb|， ∴ lga＝ lgb或 lga＝－ lgb， ∵ a≠ b， ∴ lga＝ lgb不成立． ∴ 只有 lga＝－ lgb. 即 lga＋ lgb＝ 0， ∴ ab＝ 1， b＝ 1a.
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