高中數(shù)學42直線、圓的位置關(guān)系直線與圓的方程素材新人教a版必修2(編輯修改稿)
2025-01-13 02:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 41 當 m=1時，（ SΔ ABC） max=43 ；當 m=1時，（ SΔ ABC） min=41 . 5．線性規(guī)劃。 例 6 設(shè) x, y滿足不等式組??? ??? ??? .|32|2 ,41 xy yx （ 1）求點 (x, y)所在的平面區(qū)域； （ 2）設(shè) a1，在（ 1）區(qū)域里，求函數(shù) f(x,y)=yax的最大值、最小值。 [解 ] （ 1）由已知得?????????????,032,322,41xxyyx 或?????????????.032,232,41xxyyx 解得點 (x, y)所在的平面區(qū)域如圖 104所示，其中各直線方程如圖所示。 AB： y=2x5； CD：y=2x+1； AD： x+y=1； BC： x+y=4. (2) f(x, y)是直線 l: yax=k在 y軸上的截距，直線 l與陰影相交，因為 a1，所以它過頂點 C 時， f(x, y)最大， C 點坐標為（ 3， 7），于是 f(x, y)的最大值為 3a+7. 如果 1a≤ 2，則 l通過點 A（ 2， 1）時， f(x, y)最小，此時值為 2a1；如果 a2，則 l通過 B（ 3，1）時， f(x, y)取最小值為 3a+1. 6．參數(shù)方程的應用。 例 7 如圖 105所示，過原點引直線交圓 x2+(y1)2=1于 Q點，在該直線上取 P點，使 P到直線 y=2的距離等于 |PQ|，求 P點的軌跡方程。 [解 ] 設(shè)直線 OP的參數(shù)方程為??? ?? ??sincosty tx（ t參數(shù)）。 代入已知圓的方程得 t2t?2sinα =0. 所以 t=0或 t=2sinα。所以 |OQ|=2|sinα |，而 |OP|=t. 所以 |PQ|=|t2sinα |，而 |PM|=|2tsinα |. 所以 |t2sinα |=|2tsinα |. 化簡得 t=2或 t=2或 sinα =1. 當 t=177。 2時 ，軌跡方程為 x2+y2=4；當 sinα =1時，軌跡方程為 x=0. 7．與圓有關(guān)的問題。 例 8 點 A， B， C依次在直線 l上，且 AB=ABC，過 C作 l的垂線， M是這條垂線上的動點，以 A為圓心， AB為半徑作圓， MT1與 MT2是這個圓的切線，確定Δ AT1T2垂心 的軌跡。 [解 ] 見圖 106，以 A為原點，直線 AB為 x軸建立坐標系， H為 OM與圓的交點， N為 T1T2 與 OM的交點，記 BC=1。 以 A為圓心的圓方程為 x2+y2=16，連結(jié) OT1， OT2。因為 OT2? MT2， T1H? MT2，所以 OT2//HT1，同理 OT1//HT2，又 OT1=OT2，所以 OT1HT2是菱形。所以 2ON=OH。 又因為 OM? T1T2， OT1? MT1，所以 ?21OT ON?OM。設(shè)點 H坐標為（ x,y）。 點 M坐標為 (5, b)，則點 N坐標為 ?????? 2,2 yx，將坐標代入 21OT =ON?OM，再由xyb?5得 .516516 222 ?????????????? ? yx 在 AB上取點 K，使 AK=54 AB，所求軌跡是以 K為圓心， AK為半徑的圓。 例 9 已知圓 x2+y2=1和直線 y=2x+m相交于 A， B，且 OA， OB與 x軸正方向所成的角是α和β，見圖 107，求證： sin(α +β )是定值。 [證明 ] 過 D 作 OD? AB 于 D。則直線 OD 的傾斜 角為 2??? ，因為 OD? AB，所以2? 12tan ????? , 所以 212tan ??? ?? 。所以 .542t a n12t a n2)s i n(2???????? ????? ?????? 例 10 已知⊙ O是單位圓，正方形 ABCD的一邊 AB是⊙ O的弦，試確定 |OD|的最大值、最小值。 [解 ] 以單位圓的圓心為原點， AB 的中垂線為 x 軸建立直角坐標系，設(shè)點 A， B 的坐標分別為 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,sinα )，由題設(shè) |AD|=|AB|=2sinα，這里不妨設(shè) A 在 x軸上方，則α∈ (0,π ).由對稱性可設(shè)點 D在點 A的右側(cè)（否則將整個圖形關(guān)于 y軸作對稱即可），從而點 D坐標為 (cosα +2sinα ,sinα )， 所以 |OD|= 1c oss i n4s i n4s i n)s i n2(c os 222 ????? ?????? = .42s i n2233)2c os2(s i n2 ?????? ????? ???? 因為 2242s i n2222 ??????? ?
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