蘇教版選修2-2高中數(shù)學222間接證明同步檢測(編輯修改稿)
2025-01-09 20:00 本頁面
【文章內容簡介】 數(shù) a的取值范圍是 ________． 解析 若方程 x2＋ (a－ 1)x＋ a2＝ 0有實根， 則 (a－ 1)2－ 4a2≥ 0， ∴ － 1≤ a≤ 13. 若方程 x2＋ 2ax－ 2a＝ 0有實根， 則 4a2＋ 8a≥ 0， ∴ a≤ － 2或 a≥ 0， ∴ 當兩個方程至少有一個實根時，－ 1≤ a≤ 13或 a≤ － 2或 a≥ 0. 即 a≤ － 2或 a≥ － 1. 答案 a≤ － 2 或 a≥ － 1 11．已知函數(shù) f(x)＝ ax＋ x－ 2x＋ 1(a＞ 1)． (1)證明：函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程 f(x)＝ 0 沒有負數(shù)根． 證明 (1)任取 x x2∈ (－ 1，＋ ∞ )，不妨設 x1＜ x2，則 x2－ x1＞ 0. ax2－ x1＞ 1，且 ax1＞ 0，所以 ax2－ ax1＝ ax1(ax2－ x1－ 1)＞ 0. 又因為 x1＋ 1＞ 0， x2＋ 1＞ 0. 所以 x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1＝ ?x2－ 2??x1＋ 1?－ ?x1－ 2??x2＋ 1??x1＋ 1??x2＋ 1? ＝ 3?x2－ x1??x1＋ 1??x2＋ 1?＞ 0， 所以 f(x2)－ f(x1)＝ ax2－ ax1＋ x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1＞ 0. 故函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上為增函數(shù)． (或利用導數(shù)知識證明 ) (2)假設存在 x0＜ 0(x0≠ － 1)，滿足 f(x0)＝ 0， 則 ax0＝－ x0－ 2x0＋ 1，且 0＜ ax0＜ 1，所以 0＜－ x0－ 2x0＋ 1＜ 1， 即 12＜ x0＜ 2， 與假設 x0＜ 0 矛盾，故方程 f(x0)＝ 0沒有負根． 12．已知函數(shù) f(x)＝ x
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