【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 倒立擺的參數(shù)代入 ,則有： ， . 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo) 對(duì)方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，得到： （ 1） 推倒傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0. 由于輸出為角度，求解方程組可以得到： （ 2） 整理后得到傳遞函數(shù)： （ 3） 其中： . 3 現(xiàn)代控制理論在倒立擺平臺(tái)上的應(yīng)用 3． 1 基于倒立擺的 PID 控制器設(shè)計(jì)分析 PID 控制方法 PID 控制器是一種線性控制器，通過(guò)對(duì)誤差信號(hào) e t 進(jìn)行比例、積分和微分運(yùn)算，其結(jié)果的加權(quán)得到控制器的輸出 u t ，該值就是所需控制量的大小。PID 控制器的數(shù)學(xué)描述為： 式中 u t 為控制輸入， e t r t c t 為誤差信號(hào)， r t 為輸入量， c t 為輸出量。其控制輸出由三部分組成： 1 比例環(huán)節(jié)：根據(jù)偏差量成比例的調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制量，以此產(chǎn)生控制作用，減少偏差。其作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，比例系數(shù)越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度越高，但容易產(chǎn)生超調(diào)，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定；比例系數(shù)過(guò)小，會(huì)降低系統(tǒng)調(diào)節(jié)精度，響應(yīng)速度變慢，調(diào)節(jié)時(shí)間變長(zhǎng)，動(dòng)態(tài)、靜態(tài)特性變壞。 2 積分環(huán)節(jié)：用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無(wú)差度。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù) 的大小，越小，積分作用越強(qiáng)。需要注意的是積分 作用過(guò)強(qiáng)，可能引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。 3 微分環(huán)節(jié)：根據(jù)偏差量的變化趨勢(shì)調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制量，在偏差信號(hào)發(fā)生較大的變化以前，提前引入一個(gè)早期的校正信號(hào)，起到加快系統(tǒng)動(dòng)作速度，減少調(diào)節(jié)時(shí)間的作用。微分作用過(guò)強(qiáng)，可能引起系統(tǒng)的振蕩。 擺角 PID 控制器設(shè)計(jì)仿真分析 設(shè)計(jì) PID 控制器，觀察倒立擺 PID 閉環(huán)控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。通過(guò)在MATLAB 環(huán)境下 M 語(yǔ)言編程進(jìn)行仿真分析，程序如下： : M 。 m 0,109。 b 。 l 。 g 。 l 。 q M+m * l+m*l^2 m*l ^2。%simplifies input num [m*l/q 0 0] den [1 b* l+m*l^2 /q M+m *m*g*l/q b*m*g*l/q 0] kd 20 kp 1000 ki 1 numPID [kd kp ki]。 denPID [1 0]。 numc conv num,denPID denc polyadd conv denPID,den ,conv numPID,num t 0::5。 step numc,denc,t Polyadd 函數(shù)內(nèi)容 如下： function[poly] polyadd poly1,poly2 if length pily1 length poly2 short poly1。 long poly2。 else short poly2。 long poly1。 end mz length long length short if mz 0 poly [zeros l,mz ,short]+long。 else poly long+short。 end 通過(guò)臨界比例法調(diào)節(jié) PID 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。取 1000, 1, 20，階躍響應(yīng)曲線如圖 所示?？梢钥闯觯藭r(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及暫態(tài)性能都已經(jīng)比較合適。 圖 PID 控制器輸出 從以上 matlab 仿真結(jié)果來(lái)看，對(duì)單級(jí)小車倒立擺進(jìn)行 PID 的控制是可行的，且有良好的動(dòng)態(tài)特性及穩(wěn)態(tài)特性。具有 PID 控制器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、可靠性高以及易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn) ,同時(shí)具有模糊控制對(duì)于倒立擺這種時(shí)變、非線性的的復(fù)雜系統(tǒng)有較好的魯棒性的優(yōu)點(diǎn)。 現(xiàn)代控制理論在倒立擺平臺(tái)上的應(yīng)用 置法 針對(duì)直線單級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控 制器，這樣既可以對(duì)擺桿位置加以控制，也可以對(duì)小車位置加以控制。根據(jù)式我們可以推導(dǎo)出倒立擺系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程 : 上式是兩元聯(lián)立二階常微分方程，如果取狀態(tài)變量為： 即擺桿的角度和速度以及小車的位置和速度四個(gè)狀態(tài)變量。則系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 將上式寫成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程：是四維的狀態(tài)向量，而系統(tǒng)矩陣 A 和輸入矩陣 B 為下列形式：系統(tǒng)矩陣 ,輸入矩陣 .其中參數(shù) a , b, c, d 為下列表達(dá)式確定的常數(shù)： ， ， 選擇擺桿的傾斜角度θ 和小車的水平位置 x 作為倒立擺桿 /小車系統(tǒng)的輸出 ，則輸出方程為： 所謂狀態(tài)反饋，就是用狀態(tài)向量與一個(gè)系數(shù)矩陣的積作為控制向量： ,控制力 u 是一個(gè)加給小車水平方向的力 u ，狀態(tài)變量有四個(gè)，所以反饋系數(shù)是個(gè) 1 4 階的矩陣： ,則系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制力可用狀態(tài)變量與各自系數(shù) k1 , k2,k3,k4 乘積之和的形式表示，即：，狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方塊圖如圖 所示： 圖 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)框圖 極點(diǎn)配置法是以線性系統(tǒng)為對(duì)象設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征根（極點(diǎn)）分布在指定位置的控制器設(shè)計(jì)方法 .得到系統(tǒng)矩陣 A 和輸入矩陣B 為： ,，矩陣 A 的特征 值是方程 的根 . 因此，該系統(tǒng)的特征根分別為：特征根之一 S3 的實(shí)部是正值，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可知： u 0 時(shí)，倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)這一不穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)用狀態(tài)反饋，可使擺桿垂直并使小車處于基準(zhǔn)位置，即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài) . 在用狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)中，應(yīng)用狀態(tài)反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)的特征根，以矩陣 A+ BK 的特征值給出。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征值都要處于復(fù)平面的左半平面 .矩陣 A+ BK 的特征方程式 的根： 可表示為： 適當(dāng)選擇反饋系數(shù) k1， k2， k3， k4，系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值 .把四個(gè)特征根λ 1 , λ 2,λ 3,λ 4 設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有： 比較上述兩式有下列聯(lián)立方程式： 如果給出的是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實(shí)數(shù) .據(jù)此可求解出實(shí)數(shù) . 當(dāng)將特征根指定為下列兩組共軛復(fù)數(shù)時(shí)：利用方程式可列出關(guān)于的方程組， 求解后得： 則施加在小車水平方向上的控制力： 上式給出的狀態(tài)反饋控制器，可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有的狀態(tài)變量 ,都可穩(wěn)定在 0 的狀態(tài) .這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置，依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立，使小車保持在基準(zhǔn)位置 . 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng) .控制器的目的是使倒立擺系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定 ,即保持倒立擺在垂直的位置 ,使小車在外力作用下其位移以較小的誤差跟隨輸入的變化 .由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要是由他的極點(diǎn)位置決定的 ,同時(shí)容易證明一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)能控而且能觀的系統(tǒng) .通過(guò)極配置狀態(tài)反饋控制器來(lái)使系統(tǒng)保持穩(wěn)定 . 狀態(tài)反饋控制方程為： 閉環(huán)系統(tǒng)的方程為 : 選取所期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置： 根據(jù)如下 MATLAB 程序可求得狀態(tài)反饋增益 K 假設(shè)小車的質(zhì)量為 3 kg ,擺桿的質(zhì)量為 kg ,擺桿的長(zhǎng)度為 m ,程序如下 : M 3。 m 。l 。g 。 A21 M +m /M/l*g。 A41 m/M*g。 B21 1/M/l。 B41 1/M。 A [0 1 0 0。A21 0 0 0。0 0 0 1。A41 0 0 0] B [0。B21。0。B41] C [1 0 0 0。0 1 0 0。0 0 1 0。0 0 0 1] D 0 M [B A*B A^2*B A^3*B]。 J [ 2j*2*sqrt 3 0 0 0。0 2+j*2*sqrt 3 0 0。0 0 10 0。0 0 0 10]。 jj poly J 。 Phi polyvalm poly J ,A 。 K [0 0 0 1]* inv M *Phi 求得： 應(yīng)用 MATLAB中的 Simulink設(shè)計(jì)用極點(diǎn)配置控制的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真模型如下圖所示。圖中 StateSpace 模塊填入了上面程序計(jì)算所得的 A ,B ,C,D 值。然后用 1 個(gè) Bus Selector 輸出轉(zhuǎn)角、角速度、位移和 速度 4 個(gè)量 ,之后用4 個(gè) Gain 分別輸出參數(shù) K 1 K 2 K 3 K 4 和 1 個(gè) Sum 構(gòu)成狀態(tài)反饋 ,同時(shí)用示波器輸出轉(zhuǎn)角、角速度、位移和速度 4 個(gè)量。如圖為 simulink 構(gòu)成的狀態(tài)反饋圖： simulink 構(gòu)成的狀態(tài)反饋圖 上述狀態(tài)反饋可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài) ,即所有的狀態(tài)變量都可以穩(wěn)定在零狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外