【文章內(nèi)容簡介】 以有效地解決倒立擺的平衡問題。 ，主要是為倒立擺設計出自適應控制器。 ，主要 是以模糊集合論、模糊語言變量以及模糊邏輯推理為基礎的一種計算機數(shù)字控制。從線性控制與非線性控制的角度分類，模糊控制是一種非線性開展。模糊控制適用于控制參量無精確的表示方法和被控對象參數(shù)之間無精確的相互關系的情況 。 糊控制理論，李洪興教授領導的模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心在國際上首次成功實現(xiàn)了四級倒立擺實物控制系統(tǒng)，添補了一項世界空白，這是我國自己培養(yǎng)的學者站在中國的土地上采用自己提出的控制理論完成的一項世界領先水平的科研成果。 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 8 ，比如模糊自適應控制，分散魯棒自適應控制，仿人智能控制等等； ，首先建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后為其設計出神經(jīng)網(wǎng)絡控制器，再利用改進的遺傳算法訓練神經(jīng)網(wǎng)絡的權值，從而實現(xiàn)對倒立擺的控制，采用 GA 學習的 NN 控制器兼有 NN 的廣泛映射能力和 GA 快速收斂以及增強式學習等性能。 論文的主要內(nèi)容 本文 主要研究二級倒立擺的數(shù)學模型的建立與分析，并對倒立擺系統(tǒng)進行控制方法的研究。 2 主要介紹了對倒立擺的建模 3 主要介紹了最優(yōu)二次算法， 4 闡述了遺傳算法及其應用， 5 主要實現(xiàn) matlab 仿真 與實物演示的對比 且 進行了實物演示。 沈陽航空航天大學畢業(yè)設計 {論文 } 9 2 倒立擺數(shù)學模型的建立與分析 數(shù)學建模的方法 所謂 系統(tǒng)的數(shù)學模型 就是利用數(shù)學結(jié)構來反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設計、預報和控制一個系統(tǒng)的基礎，所 以要對一個系統(tǒng)進行研究，首先要建立它的數(shù)學模型。 建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，一般采用牛頓運動規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點組受到的約束條件，建模問題將更加復雜，為此本文采用分析力學方法中的 Lagrange 方程推導倒立擺的系統(tǒng)模型。 Lagrange 方程有如下特點： ，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。 ，因此在建立運動方程式時，只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力。 方程是以能量觀點 建立起來的運動方程，為了列出系統(tǒng)的運動方程，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學量－系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學量－廣義力。 因此用 Lagrange 方程來求解系統(tǒng)的動力學方程可以大大簡化建模過程。 二級倒立擺的結(jié)構和工作原理 如圖 ， 系統(tǒng)包括計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體（小車，上擺，下擺，皮帶輪等）和光電碼盤幾大部分，組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡，下面一節(jié)擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號由光電碼盤 2 反饋 回控制卡和伺服驅(qū)動器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號則由光電碼盤 3 反饋。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個方向移動、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持兩節(jié)擺桿的平衡。 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 10 圖 系統(tǒng)結(jié)構和工作原理圖 拉格朗日運動方程 拉格朗日提出了用能量的方法推導物理系統(tǒng)的數(shù)學模型，首先我們引入廣義坐標，拉格朗日方程。 廣義坐標： 系統(tǒng)的廣義坐標是描述系統(tǒng)運動必需的一組獨立坐標，廣義坐標數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運 動用 n維廣義坐標 q1,q2,? qn來表示，我們可以把這 n維廣義坐標看成是 n維空間的 n位坐標系中的坐標。對于任一系統(tǒng)可由 n 維空間中的一點來表征。系統(tǒng)在 n 維空間中運動形成的若干系統(tǒng)點連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點的軌跡。 拉格朗日方程： ( , ) ( , ) ( , )L q q T q q V q q?? () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標， T —— 系統(tǒng)的動能， V —— 系統(tǒng)的勢能。 拉格朗日方程由廣義坐標 iq 和 L 表示為： 沈陽航空航天大學畢業(yè)設計 {論文 } 11 iii fqLqLdtd ??????? () 式中， ni ?3,2,1? ， if —— 系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設系統(tǒng)的三個廣義坐標分別是 21, ??x 。 推導建立數(shù)學模型 在推導數(shù)學模型之前，我們需要幾點必要的假設： 、下擺及小車 均是剛體； ；傳動 皮 帶無伸長現(xiàn)象； ； ，且無滯后，忽略電機電樞繞組中的電感； ； ； 二級倒立擺的運動分析示意圖如圖 圖 二級 倒立擺運動分析示意圖 倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下： M= 小車系統(tǒng)的等效質(zhì)量 1? y x x F m1 m3 2? m2 M 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 12 1m = 擺桿 1 質(zhì)量 1l = 擺桿 1 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離 m2= 擺桿 2 質(zhì)量 l2= 擺桿 2 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離 3m = 質(zhì)量塊質(zhì)量 F：作用在系統(tǒng)上的外力 1? ：擺桿 1 與垂直向上方向的夾角 2? ：擺桿 2 與垂直向上方向的夾角 首先，計算系統(tǒng)的動能： 321 mmmM TTTTT ???? () MT 小車動能： 212MT Mx? () 1mT 擺桿 1 動能： 111 mmm TTT ????? () 式中， 39。 1 1mT — — 擺 桿 質(zhì) 心 平 動 動 能 39。39。 1 1mT — — 擺 桿 繞 質(zhì) 心 轉(zhuǎn) 動 動 能 2239。 1 1 1 111( s i n ) ( c o s )12md x l d lTm d t d t?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ???2 2 21 1 1 1 1 1 1 111c o s22m x m l x m l? ? ??? () 21211212112139。39。 1 61312121 ??? ?? lmlmJT pm ????????? () 則 2121111112139。39。 139。 11 32c os21 ??? ???? lmxlmxmTTT mmm ????? () 2mT 擺桿 2 動能： 222 mmm TTT ????? () 式中， 39。 2 2mT — — 擺 桿 質(zhì) 心 平 動 動 能 39。39。 2 2mT — — 擺 桿 繞 質(zhì) 心 轉(zhuǎn) 動 動 能 2239。 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2( 2 s in s in ( 2 c o s c o s )1122m d x l l d l lT m md t d t? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 沈陽航空航天大學畢業(yè)設計 {論文 } 13 ? ? ? ?222 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2112 c o s c o s 2 s in s in22m x l l m l l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? () 222222222222239。39。 2 61312121 ??? ?lmlmJT m ????????? () ? ?? ?39。 39。39。 22 2 2 2 1 1 1 2 2 21 2 2 c o s c o s2m m mT T T m x x l l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????? ???? 122121222221212 c os434421 ?????? ???? llllm () 3mT 質(zhì)量塊動能： 221 1 1 133( 2 si n ) ( 2 c os )12md x l d lTm dt dt?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? 2 2 23 3 1 1 1 3 1 11 2 c o s 22 m x m l x m l? ? ?? ? ? () 因此，可以得到系統(tǒng)動能 ： 1 2 3M m m mT T T T T? ? ? ? 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 11 1 2c o s2 2 3M x m x m l x m l? ? ?? ? ? ? ? ?? ?22211122 c osc os2221 ???? ???? llxxm ??? ? ??????? ???? 122121222221212 c os434421 ?????? ???? llllm 21213111323 2c os221 ??? ???? lmxlmxm ??? () 系統(tǒng)的勢能為： 1 2 3m m mV V V V? ? ? ? ?1 1 1 3 1 1 2 1 1 2 2c os 2 c os 2 c os c osm gl m gl m g l l? ? ? ?? ? ? ? () 至此得到拉格朗日算子 L ： L T V?? 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 11 1 2c o s2 2 3M x m x m l x m l? ? ?? ? ? ? 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 14 ? ?? ?22211122 c osc os2221 ???? ???? llxxm ??? ? ??????? ???? 122121222221212 c os434421 ?????? ???? llllm 11121213111323 c os2c os221 ???? glmlmxlmxm ???? ???? ? ?22112113 c o sc o s2c o s2 ??? llgmglm ??? () 由于因為在廣義坐標 21,?? 上 均無外力作用，有以下等式成立： 011?????????????? ?? LLdtd ? () 022?????????????? ?? LLdtd ? () 展開 ()、 ()式，分別得到 ()、 ()式 )c o s (2(3))(3(4)s i n (6 1222211321212222 ??????? ??????? ????? lmlmmmlm 0))c o ss i n))((2( 11321 ????? ?? xgmmm ?? () 22 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 23 sin 6 sin( ) 4 6 c os( ) 3 c os 0g l l l x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? () 將 ()、 ()式對 21,?? ?? 求解代數(shù)方程，得到以下兩式 21221312111 s i n)c o s (3s i n4s i n4s i n2(3( ??????? ?????? gmgmgmgm?? 1122212221212112 c o s2)s i n (4)s i n ()c o s (6 ????????? xmlmlm ???? ?????? /))c o s)c o s (3c o s4c o s4 22121312 ????? ???? xmxmxm ?????? )))(c o s912124(2( 21223211 ?? ????? mmmml () )c os3)s i n(6s i n3())(3(94( 221211222132122 ?????? xlgllmmmm ????? ????????? /)))c oss i n))((2(3)s i n(6)(c os (32 11321212222212212 ??????? xgmmmlmllm ??? ??????? ))(c os4))(3(916(21222212222213212 ?? ????? llmllmmmm () 表示成以下形式： ),,( 212111 xxxf ??????? ????? ? () 沈陽航空航天大學畢業(yè)設計 {論文 } 15 ),,( 212122 xxxf ??????? ????? ? () 取平衡位置時各變量的初值為零， 1 2 1 2( , , , , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 0A x x x? ? ? ?? ? ? () 將 ()式在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 111 0 0AfK x ????? () 1 2 311 2 01 1 2 3 13 ( 2 4 4 )2 ( 4 3 1 2 )A g m g m g mfK m m m l? ? ? ? ????? ? ? ? ()