【文章內容簡介】 412， 413, 421, 423, 431, 432 。 同樣，問題 2 可以歸結為： 從 4 個不同的元素 a, b, c， d 中任取 3 個，然 后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ 所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4 3 2=24種 . 樹形圖如下 a b ｃ ｄ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ 2．排列的概念： 從 n 個不同元素中，任取 m （ mn? ）個元素（這里的被取元素各不相同）按照 一定的順序 ． ． ． ． ． 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的 一個排 ． ． ． 列 ． 奎屯王新敞 新疆 說明： （ 1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列； （ 2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同 奎屯王新敞 新疆 3．排列數(shù)的定義： 從 n 個不同元素中，任取 m（ mn? ）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從 n 個元素中取出 m 元素 的 排列數(shù) ，用符號 mnA 表示 奎屯王新敞 新疆注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從 n 個不同元素中，任取 m 個元素按照 一定的順序 ． ． ． ． ． 排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從 n 個不同元素中，任取 m （ mn? ）個元素的所有排列的個數(shù)， 是一個數(shù) 奎屯王新敞 新疆所以符號 mnA 只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列 奎屯王新敞 新疆 4．排列數(shù)公式及其推導： 由 2nA 的意義：假定有排好順序的 2 個空位，從 n 個元素 1 2, na a a 中任取 2 個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù) 2nA ．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有 ( 1)nn? 種填法，∴ 2nA = ( 1)nn? 奎屯王新敞 新疆 10 由此，求 3nA 可以按依次填 3 個空位來考慮，∴ 3nA = ( 1)( 2)n n n??， 求 mnA 以按依次 填 m 個空位來考慮 ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ?， 排列數(shù)公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ? （ ,m n N m n???） 說明： （ 1）公式特征：第一個因數(shù)是 n ，后面每一個因數(shù)比它前面一個 少 1，最后一個因數(shù)是 1nm??，共有 m 個因數(shù)； （ 2） 全排列 ：當 nm? 時即 n 個不同元素全部取出的一個排列 奎屯王新敞 新疆 全排列數(shù)： ( 1 ) ( 2 ) 2 1 !nnA n n n n? ? ? ? ?（叫做 n 的階乘 ） 奎屯王新敞 新疆 另外，我們規(guī)定 0! =1 . 例 1． 用計算器計算： (1） 410A ； (2） 518A 。 (3） 18 1318 13AA? . 解：用計 算器可得： 由（ 2 ) ( 3 ）我們看到， 5 18 1318 18 13A A A??．那么，這個結果有沒有一般性呢？即 !( ) !nm nn nmnmA nA A n m???? ?. 排列數(shù)的另一個計算公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) 3 2 1( ) ( 1 ) 3 2 1n n n n m n mn m n m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? !( )!nnm? = nnnmnmAA??. 即 mnA = !( )!nnm? 奎屯王新敞 新疆 例 2． 解方程： 3 3 2 2126x x xA A A???． 解：由排列數(shù)公式得： 3 ( 1 ) ( 2) 2( 1 ) 6 ( 1 )x x x x x x x? ? ? ? ? ?， ∵ 3x? ，∴ 3 ( 1 ) ( 2) 2( 1 ) 6( 1 )x x x x? ? ? ? ? ?，即 23 17 10 0xx? ? ?， 解得 5x? 或 23x? ，∵ 3x? ，且 xN?? ，∴原方程的解為 5x? ． 11 例 3． 解不等式： 2996xxAA?? ． 解：原不等式即 9 ! 9 !6(9 ) ! (1 1 ) !xx????， 也就是 16( 9 ) ! (1 1 ) (1 0 ) ( 9 ) !x x x x?? ? ? ? ? ?，化簡得： 2 21 104 0xx? ? ?， 解得 8x? 或 13x? ，又∵ 29x??，且 xN?? ， 所以，原不等式的解集為 ? ?2,3,4,5,6,7 ． 例 4． 求證：（ 1） n m n mn n n mA A A ???? ；（ 2） ( 2 ) ! 1 3 5 ( 2 1)2!n n nn ? ? ? ??． 證明：（ 1） ! ( ) ! !( ) !m n mn n m nA A n m nnm??? ? ? ??nnA?，∴原式成立 奎屯王新敞 新疆 （ 2） ( 2 ) ! 2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 4 3 2 12 ! 2 !nnn n n n? ? ? ? ? ? ???? 2 ( 1 ) 2 1 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 3 12!n nn n n nn? ? ? ? ? ? ?? ? ! 1 3 ( 2 3 ) ( 2 1 )!n n nn? ? ? ???1 3 5 (2 1)n? ? ?右邊 ∴原式成立 奎屯王新敞 新疆 說明： （ 1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù) mnA 中， ,mn N?? 且 mn? 這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍； （ 2）公式 ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ?常用來求值，特別是 ,mn均為已知時，公式 mnA = !( )!nnm?，常用來證明或化簡 奎屯王新敞 新疆 例 5． 化簡：⑴ 1 2 3 12 ! 3 ! 4 ! !n n?? ? ? ?；⑵ 1 1 ! 2 2 ! 3 3 ! !nn? ? ? ? ? ? ? ?奎屯王新敞 新疆 ⑴解：原式 1 1 1 1 1 1 11!2 ! 2 ! 3 ! 3 ! 4 ! ( 1 ) ! !nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ??11 !n? ⑵提示：由 ? ? ? ?1 ! 1 ! ! !n n n n n n? ? ? ? ? ?，得 ? ?! 1 ! !n n n n? ? ? ?， 原式 ? ?1 ! 1n? ? ? 奎屯王新敞 新疆 說明： 1 1 1! ( 1)! !nn n n? ???． 第二課時 例 1． (課本 例 2)． 某年全國足球甲級（ A 組 ） 聯(lián)賽共有 14 個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次， 12 共 進行多少場比賽？ 解 ：任意兩隊間進行 1 次主場比賽與 1 次客場比賽，對應于從 14 個元素中任取 2 個元素的一個排列．因此，比賽的總場次是 214A =14 13=182. 例 2． (課本 例 3)． (1）從 5 本不同的書中選 3 本送給 3 名同學，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ (2）從 5 種不同的書中買 3 本送給 3名同學，每人各 1本，共有多少種不同的送法？ 解： (1）從 5 本不同的書中選出 3 本分別送給 3 名同學，對應于從 5 個不同元素中任取 3 個元素的一個排列，因此不同 送法的種數(shù)是 35A =5 4 3=60. (2）由于有 5 種不同的書，送給每個同學的 1 本書都有 5 種不同的選購方法，因此送給 3 名同學每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是 5 5 5=125. 例 8 中兩個問題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計數(shù)原理進行計算． 例 3． (課本 例 4)．用 0 到 9這 10 個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。到 9 這 10 個數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。是一個特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題 解法 1 ：由于在沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字 不能是 O，因此可以分兩步完成排列．第 1 步，排百位上的數(shù)字，可 以從1 到 9 這九個數(shù)字中任選 1 個，有 19A 種選法；第 2 步，排十位 和個位上的數(shù)字，可以從余下的 9 個數(shù)字中任選 2 個，有 29A 種選法 （圖 一 5) ．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)有 1299AA? =9 9 8=648（個） . 解法 2 ：如圖 一 6 所示，符合條件的三位數(shù)可分成 3 類．每一位數(shù)字都不是位數(shù)有 A 母個，個位數(shù)字是 O 的三位數(shù)有揭個，十位數(shù)字是 0 的三位數(shù)有揭個．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有 3 2 29 9 9A A A??=648 個． 解法 3 ：從 0 到 9 這 10 個數(shù)字中任 取 3 個數(shù)字的排列數(shù)為 310A ，其中 O 在百位上的排列數(shù)是 29A ，它們的差就是用這 10 個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三位數(shù)的個數(shù)是 310A 29A =10 9 89 8=648. 對于例 9 這類計數(shù)問題，可用適當?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法．解法 1 根據(jù)百位數(shù)字不能是。 的要求，分步完成選 3 個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法 2 以 O 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標準，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先求出從 10 個不同數(shù)字中選 3 個不重復數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個數(shù)），就得到沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)．從上述問題的解答過程可以看到，引進排列的概念，以及推導求排列數(shù)的公式，可以更加 13 簡便、快捷地求解“從 n 個不同元素中取出 m (m≤ n）個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計 數(shù)問題． 節(jié)中的例 9 是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？ 四、課堂練習 ： 1．若 !3!nx?，則 x? （ ） ()A 3nA ()B 3nnA? ()C 3nA ()D 33nA? 2．與 3710 7AA? 不等的是 （ ） ()A 910A ()B 8881A ()C 9910A ()D 1010A 3．若 532mmAA? ，則 m 的值為 （ ） ()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7 4．計算： 5699610239!AAA? ?? ； 11( 1)!( )!nm mA m n?? ? ??? ． 5．若11( 1)!2 42mmmA ?????，則 m 的解集是 ． 6．（ 1）已知 10 10 9 5mA ? ? ? ?，那么 m? ； （ 2）已知 9! 362880? ，那么 79A = ； （ 3）已知 2 56nA? ，那么 n? ； （ 4）已知 2247nnAA?? ，那么 n? ． 7．一個火車站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放 1列火車）？ 8．一部紀錄影片在 4 個單位輪映，每一單位放映 1 場，有多少種輪映次序？ 答案： 1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. ? ?2,3,4,5,6 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 奎屯王新敞 新疆 教學反思： 排列的特征：一個是 “ 取出元素 ” ；二是 “ 按照一定順序排列 ” ,“ 一定順序 ” 就是與位置有關，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志。根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，且僅當兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同 . 了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。 對于較復雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正