【導(dǎo)讀】閱讀與思考這樣的買彩票方式可行嗎?問題：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些。交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？專業(yè)，因此符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件．解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所．在A大學(xué)中有5種專業(yè)。選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法．又由于沒有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720. 分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完。①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理.

　　

【正文】 的排列方法種數(shù)為 5 6=30，填 30． 1． 2． 2 組合 第一課時(shí) 一、復(fù)習(xí)引 入： 1 奎屯王新敞 新疆分類加法計(jì)數(shù)原理： 做一件事情，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有 1m 種不同的方法，在第二類辦法中有 2m種不同的方法，??，在第 n 類辦法中有 nm 種不同的方法 奎屯王新敞 新疆那么完成這件事共有 12 nN m m m? ? ? ?種不同的方法 奎屯王新敞 ： 做一件事情，完成它需要分成 n 個(gè)步驟，做第一步有 1m 種不同的方 法，做第二步有 2m 種不同的方法，??，做第 n 步有 nm 種不同的方法，那么完成這件事有 12 nN m m m? ? ? ? 種不同的方法 奎屯王新敞 新疆 3．排列的概念： 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ mn? ）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照 一定的順序 ． ． ． ． ． 排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的 一個(gè)排列 ． ． ． ． 奎屯王新敞 新疆 18 4．排列數(shù)的定義： 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ mn? ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從 n 個(gè)元素中取出 m 元素的 排列數(shù) ，用符號(hào) mnA 表示 奎屯王新敞 新疆 5．排列數(shù)公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ?（ ,m n N m???） 6 奎屯王新敞 新疆階乘： !n 表示正整數(shù) 1 到 n 的連乘積，叫做 n 的階乘 奎屯王新敞 新疆規(guī)定 0! 1? ． 7．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式： mnA = !( )!nnm? 奎屯王新敞 新疆 奎屯王新敞 新疆 ： 示例 1：從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中選出 2 名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中 1 名同學(xué)參加上午的活動(dòng)， 1 名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 示例 2：從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中選出 2 名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 引導(dǎo)觀察：示例 1 中不但要求選出 2 名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而示例 2 只要求選出 2 名同學(xué)，是與順序無關(guān)的 奎屯王新敞 新疆引出課題： 組合 ． ． ． 奎屯王新敞 新疆 二、講解新課： 1 奎屯王新敞 新疆組合的概念： 一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 m ? ?mn? 個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè) 組合 奎屯王新敞 新疆 說明：⑴ 不同元素 ；⑵“只取不排” —— 無序性； ⑶相同組合：元素相同 奎屯王新敞 新疆 例 1． 判斷下列問題是組合還是排列 （ 1）在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少 種不同的飛機(jī)票價(jià)？ （ 2）高中部 11 個(gè)班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場比賽？ （ 3）從全班 23 人中選出 3 人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項(xiàng)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？ （ 4） 10 個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？（ 5） 10個(gè)人互通電話一次，共多少個(gè)電話？ 問題：（ 1） 3 和 2是相同的組合嗎？ （ 2）什么樣的兩個(gè)組合就叫相同的組合 2．組合數(shù)的概念： 從 n 個(gè)不同元素中取出 m ? ?mn? 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的 組合數(shù) ． ． ． ．用符號(hào) mnC 表示． 例 2． 用計(jì)算器計(jì)算 710C ． 解：由計(jì)算器可得 例 3． 計(jì)算： （ 1） 47C ； （ 2） 710C ； （ 1） 解 ： 47 7 6 5 44!C ? ? ??＝ 35； （ 2） 解法 1： 710 1 0 9 8 7 6 5 47!C ? ? ? ? ? ??＝ 120． 解法 2： 710 1 0 ! 1 0 9 87 !3 ! 3 !C ????＝ 120． 第二課時(shí) 19 3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)： （ 1） 從 4 個(gè)不同元素 , , ,abcd 中取出 3 個(gè)元素的組合數(shù) 34C 是多少呢？ 啟發(fā)：由于 排列是先組合再排列 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ，而從 4 個(gè)不同元素中取出 3 個(gè)元素的排列數(shù) 34A 可以求得，故我們可以考察一下 34C和 34A 的關(guān)系，如下： 組 合 排列 d c bc d bbdcdbcc b db c db c dd c ac d aadcdacc a da c da c ddbabdaadbdabbadabdabdc b ab c aa c bc a bbacabcabc,,,,,???? 由此可知 ,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著 6 個(gè)不同的排列，因此，求從 4 個(gè)不同元素中取出 3 個(gè)元素的排列數(shù) 34A ，可以分如下兩步：① 考慮從 4 個(gè)不同元素中取出 3 個(gè)元素的組合，共有 34C 個(gè)；② 對(duì)每一個(gè)組合的 3 個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有 33A 種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得： 34A ＝ ?34C 33A ，所以，333434 AAC ?． （ 2） 推廣：一般地，求從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的排列數(shù) mnA ，可以分如下兩步： ① 先求從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的 組合數(shù) mnC ； ② 求每一個(gè)組合中 m 個(gè)元素全排列數(shù) mmA ，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得： mnA ＝ mnC mmA? ． （ 3） 組合數(shù)的公式： ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )!mm nn mmA n n n n mC Am? ? ? ??? 或)!(! ! mnm nC mn ?? ),( nmNmn ?? ? 且奎屯王新敞 新疆 規(guī)定 : 0 1nC? . 三、講解范例： 例 4． 求證： 11 ????? mnmn CmnmC． 證明：∵)!(! ! mnm nC mn ?? 11 1 !( 1 ) ! ( 1 ) !mnm m nCn m n m m n m???? ? ?? ? ? ? ? ＝ 1!( 1 ) ! ( ) ( 1 ) !mnm n m n m? ?? ? ? ? 20 ＝ !!( )!nm n m? ∴ 11 ????? mnmn CmnmC 例 5． 設(shè) ,??Nx 求 32 1132 ???? ? xxxx CC 的值 奎屯王新敞 新疆 解：由題意可得：??? ??? ??? 321 132 xx xx ，解得 24x?? ， ∵ xN?? ， ∴ 2x? 或 3x? 或 4x? ， 當(dāng) 2x? 時(shí)原式值為 7；當(dāng) 3x? 時(shí)原式值為 7；當(dāng) 4x? 時(shí)原式值為 11． ∴所求值為 4 或 7 或 11． 第三課時(shí) 例 6． 一位教練的足球隊(duì)共有 17 名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場隊(duì)員是 11 人．問： (l)這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？ (2)如果在選出 11 名上場隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？ 分析 ：對(duì)于（ 1)，根據(jù)題意， 17 名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從 17 個(gè)不同元素中選出 11 個(gè)元素的組合問題；對(duì)于（ 2 ) ，守門員的 位置是特殊的，其余上場學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問題． 解 ： (1）由于上場學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場方案有 C ｝手＝ 12 376 （種） . (2）教練員可以分兩步完成這件事情： 第 1 步，從 17 名學(xué)員中選出 n 人組成上場小組，共有 1117C 種選法； 第 2 步，從選出的 n 人中選出 1 名守門員，共有 111C 種選法． 所以教練員做這件事情的方法數(shù)有 11 117 11CC? =136136（種） . 例 7． （ 1）平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？ (2）平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？ 解 ： (1）以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從 10 個(gè)不同的元素中取出 2 個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有 210 10 9 4512C ????（條） . (2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從 10 個(gè)不同元素中 取出 2 個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段共有 210 10 9 90A ? ? ? （條） . 例 8． 在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品， 2 件次品．從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件 . (1）有多少種不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？ 21 解 ： (1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從 100件產(chǎn)品中取出 3件的組合數(shù)，所以共有 3100 100 99 981 2 3C ??? ??= 161700 （種 ） . (2）從 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 12C 種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 298C 種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 122 98CC? =9506(種 ). (3） 解法 1 從 100 件產(chǎn)品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品兩種情況．在第（ 2）小題中已求得其中 1 件是次品的抽法有 122 98CC? 種，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有 122 98CC? + 212 98CC? =9 604 （種） . 解法 2 抽出的 3 件產(chǎn)品中至少有 1 件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從 100 件中抽出 3 件的抽法種數(shù)減去 3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即 33100 98CC? =161 700152 096 = 9 604 （種） . 說明： “ 至少 ” “ 至多 ” 的問題，通常用分類法或間接法求解。 變式 ：按下列條件，從 12 人中選出 5 人，有多少種不同選法？ （ 1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選； （ 2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選； （ 3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選； （ 4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選； （ 5）甲、乙、丙三人至多 2 人當(dāng)選； （ 6）甲、乙、丙三人至少 1 人當(dāng)選； 例 9． （ 1） 6本不同的書分給甲、乙、丙 3 同學(xué)，每人各得 2 本，有多少種不同的分法？ 解： 90222426 ??? CCC ． （ 2） 從 5 個(gè)男生和 4 個(gè)女生中 選出 4 名學(xué)生參加一次會(huì)議，要求至少有 2名男生和 1名女生參加，有多少種選法？ 解：問題可以分成 2 類： 第一類 2 名男生和 2 名女生參加，有 225460CC? 中選法； 第二類 3 名男生和 1 名女生參加，有 315440CC? 中選法 奎屯王新敞 新疆 依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有 100 種選法 奎屯王新敞 新疆 錯(cuò)解： 2 1 15 4 6 240C C C ? 種選法 奎屯王新敞 新疆引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，可知重復(fù)的很多 奎屯王新敞 新疆 例 10． 4名男生和 6名女生組成至少有 1個(gè)男生參加的三人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組 ，問組成方法共有多少種？ 解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形： 3 男， 2 男 1 女， 1男 2女，分別有 34C ， 1624 CC? ， 2614 CC? ， 所以，一共有 34C + 1624 CC? + 2614 CC? ＝ 100 種方法． 解法二：（間接法） 10036310 ??CC 奎屯王新敞 新疆 第四課時(shí) 組合數(shù)的性質(zhì) 1： mnnmn CC ?? ． 一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素后，剩下 nm? 個(gè)元素．因?yàn)閺?n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的每一個(gè) 22 組合，與剩下的 n ? m 個(gè)元素的每一個(gè)組合 一一對(duì)應(yīng) ． ． ． ． ，所以從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這 n 個(gè)元素中取出 n ? m 個(gè)元素的組合數(shù)，即： mnnmn CC ?? ．在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想 奎屯王新敞 新疆 證明：∵)!(! !)]!([)!( ! mnm nmnnmn nC mnn ??????? 又 )!(! ! mnm nC mn ??，∴ mnnmn CC ?? 奎屯王新敞 新疆 說明：①規(guī)定： 10?nC ； ②等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)； ③此性質(zhì)作用：當(dāng)2nm?時(shí)，計(jì)算 mnC 可變?yōu)橛?jì)算 mnnC? ，能夠使運(yùn)算簡化 . 例如 20202020C ＝ 202020202020?C ＝ 12020C =2020； ④ ynxn CC ? yx?? 或 nyx ?? ． 2． 組合數(shù)的性質(zhì) 2： mnC1? ＝