【文章內(nèi)容簡介】 一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際 測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習 正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。 Ⅱ .講授新課 （ 1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解 [例題講解 ] (2)例 如圖，設(shè) A、 B 兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在 A 的同側(cè)，在所 在的河岸邊選定一點 C，測出 AC的距離是 55m， ? BAC= ?51 ， ? ACB= ?75 。 求 A、 B兩點的距離 (精確到 ) 啟發(fā)提問 1： ? ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當？ 啟發(fā)提問 2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。 分析：這是一道關(guān)于 測量從一個可到達的點到一個不 可到達的點之間的距離的問題 ， 題目條件告訴了邊 AB的對角， AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出 AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出 AB邊。 解：根據(jù)正弦定理，得 ACBAB?sin = ABCAC?sin AB = ABCACBAC ??sinsin = ABCACB??sinsin55 = )7551180sin( 75sin55 ????? ? = ??54sin75sin55 ≈ (m) 答 :A、 B兩點間的距離為 變式練習：兩燈塔 A、 B與海洋觀察站 C的距離都等于 a km,燈塔 A在觀察站 C的北偏東 30? ，燈塔 B在觀察站 C南偏東 60? ，則 A、 B之間的距離為多少？ 老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。 解略： 2 a km 例 如圖， A、 B兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量 A、 B兩點間距離 的方法。 分析：這是例 1的變式題，研究的是 兩個不可到達的點之間的距離測量問題。 首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定 C、 D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出 AC和 BC，再利用余弦定理可以計算出 AB的距離。 解：測量者可以在河岸邊選定兩點 C、 D，測得 CD=a，并且在 C、 D兩點分別測得 ? BCA=? ， ? ACD=? ， ? CDB=? ， ? BDA =? ，在 ? ADC和 ? BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = )](180sin[ )sin( ??? ?? ???? ?a = )sin( )sin( ??? ?? ???a BC = )](180sin[ sin ???? ????a = )sin( sin ??? ???a 計算出 AC和 BC后，再在 ? ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出 AB兩點間的距離 AB = ?c o s222 BCACBCAC ??? 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。 變式訓練：若在河岸選取相距 40米的 C、 D兩點，測得 ? BCA=60? ， ? ACD=30? ， ? CDB=45? ， ? BDA =60? 略解：將題中各已知量代入例 2推出的公式，得 AB=20 6 評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解 決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。 學生閱讀課本 4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。 Ⅲ .課堂練習 課本第 13頁練習第 2題 Ⅳ .課時小結(jié) 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： （ 1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （ 2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型 （ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解 （ 4）檢驗： 檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅴ .課后作業(yè) 課本第 19頁第 3題 第 5 課時 課題 : 167。 解三角形 應(yīng)用舉例 ●教學目標 知識與技能： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達的物體高度測量的問題 過程與方法： 本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構(gòu)建知識框架。通過 3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導 ——討論 ——歸納，目的不在于讓 學生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設(shè)計思考題，提供學生更廣闊的思考空間 情感態(tài)度與價值觀： 進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力 ●教學重點 結(jié)合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題 ●教學難點 能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件 ●教學過程 Ⅰ .課題導入 提問：現(xiàn)實生活中 ,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀拷裉煳覀兙蛠砉餐接戇@方面的問題 Ⅱ .講授新課 [范例講解 ] 例 AB是底部 B不可到達的一個建筑物， A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法。 分析：求 AB長的關(guān)鍵是先求 AE，在 ? ACE中，如能求出 C點到建筑物頂部 A的距離 CA，再測出由 C點觀察 A的仰角，就可以計算出 AE的長。 解：選擇一條水平基線 HG，使 H、 G、 B三點在同一條直線上。由在 H、 G兩點用測角儀器測得 A的仰角分別是 ? 、 ? ， CD = a，測角儀器的高是 h，那么，在 ? ACD中，根據(jù)正弦定理可得 AC = )sin(sin????a AB = AE + h = AC ?sin + h = )sin( sinsin ?? ???a + h 例 如圖，在山頂鐵塔上 B處測得地面上一點 A的俯角 ? =54 04?? ，在塔底 C處測得 A 處的俯角 ? =501?? 。已知鐵塔 BC 部分的高為 m,求出山高 CD(精確到 1 m) 師 :根據(jù)已知條件 ,大家能設(shè)計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在 ? ABD中求 CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？ 生：需求出 BD邊。 師：那如何求 BD邊呢？ 生：可首先求出 AB邊，再根據(jù) ? BAD=? 求得。 解 :在 ? ABC中 , ? BCA=90? +? ,? ABC =90? ? ,? BAC=? ? ,? BAD =? .根據(jù)正弦定理 , )sin( ???BC = )90sin( ???AB 所以 AB =)sin( )90sin( ?? ?? ??BC=)sin(cos?? ??BC 解 Rt? ABD中 ,得 BD =ABsin? BAD=)sin( sincos ?? ???BC 將測量數(shù)據(jù)代入上式 ,得 BD = )1500454sin( ??? ?? ?? ?? =934sin ? ??? ?? ≈ 177 (m) CD =BD BC≈ =150(m) 答 :山的高度約為 150米 . 師：有沒有別的解法呢？ 生：若在 ? ACD中求 CD，可先求出 AC。 師：分析得很好，請大家接著思考如何求出 AC？ 生：同理，在 ? ABC中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過程略） 例 如圖 ,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛 ,到 A 處時測得公路南側(cè)遠處一山頂 D在東偏南 15? 的方向上 ,行駛 5km后到達 B處 ,測得此山頂在東偏南 25? 的方向上 ,仰角為 8? ,求此山的高度 CD. 師：欲求出 CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ 生：在 ? BCD中 師：在 ? BCD中，已知 BD或 BC都可求出 CD,根據(jù)條件 ,易計算出哪條邊的長？ 生： BC邊 解 :在 ? ABC中 , ? A=15? ,? C= 25? 15? =10? ,根據(jù)正弦定理 , ABCsin = CABsin , BC = CAABsinsin =??10sin15sin5 ≈ (km) CD=BC? tan? DBC≈ BC? tan8? ≈ 1047(m) 答 :山的高度約為 1047米 Ⅲ .課堂練習 課本第 15頁練習第 3題 Ⅳ .課時小結(jié) 利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖 ,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕? Ⅴ .課后作業(yè) 課本第 19頁練習第 8題 為測某塔 AB的高度，在一幢與塔 AB相距 20m的樓的樓頂處測得塔頂 A的仰角為 30? ，測得塔基 B的俯角為 45? ，則塔 AB的高度為多少 m？ 答案 ： 20+ 3320 (m) 第 6 課時 課題 : 167。 解三角形 應(yīng)用舉例 ●教學目標 知識與技能： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題 過程與方法： 本節(jié)課是在學習了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓練強化學生的相應(yīng)能力。除了安排課本上的例 1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的 2道例題，強調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動 地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。 情感態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。 ●教學重點 能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系 ●教學難點 靈活運用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題 ●教學過程 Ⅰ .課題導入 [創(chuàng)設(shè)情境 ] 提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中 ,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷 失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。 Ⅱ .講授新課 [范例講解 ] 例 如圖，一艘海輪從 A出發(fā)，沿北偏東 75? 的方向航行 n mile后到達海島 B,然后從 B出發(fā) ,沿北偏東 32? 的方向航行 n mile后達到海島 A出發(fā)到達 C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行 ,需要航行多少距離 ?(角度精確到 ? ,距離精確到 mile) 學生看圖思考并講述解題思路 教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出 AC 邊所對的角 ? ABC，即可用余弦定理算出 AC邊，再根據(jù)正弦定理算出 AC邊和 AB 邊的夾角 ? CAB。 解：在 ? ABC中， ? ABC=180? 75? + 32? =137? ，根據(jù)余弦定理， AC= A B CBCABBCAB ????? c o s222 = ?????? 137c o 22 ≈ 根據(jù)正弦定理 , CABBC?sin = ABCAC?sin sin? CAB = ACABCBC ?sin = ? ≈ , 所以 ? CAB =? , 75? ? CAB =? 答 :此船應(yīng) 該沿北偏東 ? 的方向航行 ,需要航行 mile 補充 例 在某點 B處測得建筑物 AE的頂端 A的仰角為 ? ，沿 BE方向前進 30m，至點 C處測得頂端 A的仰角為 2? ，再繼續(xù)前進 10 3 m至 D點，測得頂端 A的仰角為 4? ，求 ? 的大小和建筑物 AE的 高。 師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。 生：上臺板演方位圖（上圖） 教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，