【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( 1) ( 1)f x a x x? ? ? ?在 1x? 處有極值． （ Ⅰ ）求實(shí)數(shù) a 值； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx 的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）令 ( ) 39。( )g x f x? ，若曲線 ()gx在 (1, (1))g 處的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于 ,AB兩點(diǎn)（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求 AOB? 的面積． 32．已知函數(shù) ( ) ln( 2 1) 1f x a x bx? ? ? ?． 16 （ Ⅰ ）若函數(shù) ()y f x? 在 1x? 處取得極值，且曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (0, (0))f 處的切線與直線 2 3 0xy? ? ? 平行，求 a 的值； （ Ⅱ ）若 12b?，試討論函數(shù) ()y f x? 的 單調(diào)性． 33．已知函數(shù) 2()1xafx x ?? ?（其中 aR? ）． （ Ⅰ ）若函數(shù) ()fx 在點(diǎn) (1, (1))f 處的切線為 12y x b??，求實(shí)數(shù) ,ab的值； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx 的單調(diào)區(qū)間． 34．已知函數(shù) ( ) ln af x xx??． （ Ⅰ ）當(dāng) 0a? 時(shí)，求函數(shù) ()fx 的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）若函數(shù) ()fx 在 [1,]e 上的最小值是 32，求 a 的值． 35．已知函數(shù) ( ) 2 lnpf x px xx? ? ?． （ Ⅰ ）若 2p? ，求曲線 ()fx 在點(diǎn) (1, (1))f 處的切線方程； （ Ⅱ ）若函數(shù) ()fx 在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù) p 的取值范圍． 17 36．已知函數(shù) ? ? 32 331f x a x xa? ? ? ?(Ra?，且 0)a? ，求 ()fx? 及 函數(shù) ()fx 的極大值與極小值． 37．已知函數(shù) 1( ) lnf x a xx??， a?R ． （ Ⅰ ）若曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (1, (1))f 處的切線與直線 20xy??垂直，求 a 的值； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx 的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）當(dāng) 1a? ，且 2x? 時(shí)，證明： ( 1) 2 5f x x? ? ? ． 38．已知函數(shù) ( ) ln axf x xx???，其中 a 為大于零的常數(shù)． （ Ⅰ ）若曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (1, (1))f 處的切線與直線 12yx? 平行，求 a 的值； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx 在區(qū)間 [1,2]上的最小值． 39．已知函數(shù) 2 2( ) ln axf x x e??(a?R ,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) )． （ Ⅰ ）求函數(shù) ()fx 的遞增區(qū)間； （ Ⅱ ）當(dāng) 1a? 時(shí)，過點(diǎn) (0, )( )P t t?R 作曲線 ()y f x? 的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)為1 1 1( , ( ))P x f x 和 2 2 2 1 2( , ( ))( )P x f x x x?，求證： 120xx??． 18 一、選擇題 15 BDBCD 610 DDADB 1115 CABBD 1620 BBCAA 2125 DCBDC 2630 CBADA 3135 BADCA 3640 BACAB 4145 BBADD 二、填空題 x－ y－ 2＝ 0 （ 0,1） （－ ∞ ， 0） 2 8 a＝ 3 (－ 4， 0) a＝ 8 (－∞，－ 1)∪ (0， 1) f(x)＝ x＋ 1x－ 1 1 a＝ 3. 1 [45，＋∞ ) 1 (－ π ，－ π 2 ]和 [0， π 2 ] 1 .??? ???0， 12 1 12x－ 3y－ 16＝ 0 或 3x－ 3y＋ 2＝ 0 1 f(3)ef(2)e2f(－ 1) 1 16 227 1 [e，＋∞ ) 1 (－∞， 2－ 1e)∪ (2－ 1e， 2) (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ ) 2 (－∞，－ 32 ] 2 [e，＋ ∞ ） 2 4x－ y－ 3＝ 0 2 9 2 (0,1] 三、解答題 解 : 2( ) [ ( 2 ) 2 ]xf x e x a x a? ? ? ? ? ? （ Ⅰ ）當(dāng) a=0 時(shí)， 2( ) ( 2) ,xf x x e?? 2( ) ( 2 2)xf x e x x? ? ? ?, (1) 3fe? , (1) 5fe? ? , ∴ 函數(shù) f（ x）的圖像在點(diǎn) A（ 1,f（ 1））處的切線方程為 y3e=5e（ x1） , 即 5exy2e=0 19 （ Ⅱ ） 2( ) [ ( 2 ) 2 ]xf x e x a x a? ? ? ? ? ?, 考慮到 0xe? 恒成立且 2x 系數(shù)為正， ∴ f（ x）在 R 上 單調(diào)等價(jià)于 2 ( 2 ) 2 0x a x a? ? ? ? ?恒成立 . ∴ （ a+2） 24（ a+2） ?0, ∴ 2?a?2 ， 即 a 的取值范圍是 [2， 2]， （若得 a 的取值范圍是（ 2， 2），可扣 1 分） （ Ⅲ ）當(dāng) 52a??時(shí) , 2 5( ) ( 2 ) ,2 xf x x x e? ? ? 2 11( ( )22xf x e x x? ? ? ?, 令 ( ) 0fx? ? ，得 12x??，或 ， 令 ( ) 0fx? ? ，得 12x?? ，或 ， 令 ( ) 0fx? ? ，得 1 12 x? ? ? x, ()fx? ,f（ x）的變化情況如下表 X 1( , )2??? 12? 1( ,1)2? 1 (1,?? ） ()fx? + 0 0 + f（ x） 極大值 極小值 所以，函數(shù) f（ x）的極小值為 f（ 1） =12e 2.． 解： ∵ 函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減， ∴ f′ (x)＝ 2ln xx － k≤ 0 在 (0，＋ ∞ )上恒成立． 設(shè) φ(x)＝ ln xx ，則 φ′(x)＝ 1－ ln xx2 ， ∴ φ (x)在 (0， e)上單調(diào)遞增，在 (e，＋ ∞ )上單調(diào)遞減， ∴ φ (x)max＝ φ(e)＝ 1e， 故實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 ??? ???2e，＋ ∞ 3． 解： f′(x)＝ 2(x＋ 1)(x－ 2)＋ (x＋ 1)2＝ 3(x－ 1)(x＋ 1)， 所以 f(x)在 (－ ∞ ，－ 1)， (1，＋ ∞ )上單調(diào)遞增，在 (－ 1， 1)上單調(diào)遞減， 所以極大值為 f(－ 1)＝ f(2)＝ 0， 20 所以 a＋ 2＝ 2 或 ???a≤ － 1，a＋ 2≥ － 1， 得 a＝ 0 或－ 3≤ a≤ － 1. 4． 證明： 由 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx，得 f′(x)＝ 3x2＋ 2bx＋ c. 由 x＝ 0 是函數(shù) f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)知 f′(0)＝ c＝ 0. 又由 f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn) A(3， 0)，得 f(3)＝ 27＋ 9b＋ 3c＝ 0， 所以 b＝－ 3，所以 f(x)＝ x3－ 3x2. 由 l1∥ l2，得 f′(x1)＝ f′(x2)，即 3x21－ 6x1＝ 3x22－ 6x2， 即 3(x1－ x2)(x1＋ x2－ 2)＝ 0. 因?yàn)?x1－ x2≠ 0，所以 x1＋ x2＝ 2， 所以當(dāng) l1∥ l2時(shí)， x1＋ x2為定值． 5． 解： f′(x)＝ 2ax2－ 2x＋ 1x ， 由題知 2ax2－ 2x＋ 1＝ 0 在 (0，＋ ∞ )上有兩個(gè)不同的實(shí)根． 設(shè)方程 2ax2－ 2x＋ 1＝ 0 的兩根為 x1， x2，且 0x1x2，根據(jù)題意得 0a12， 所以 f(x)在 (0， x1)上單調(diào)遞增，在 (x1， x2)上單調(diào)遞減， 在 (x2，＋ ∞ )上單調(diào)遞增， 所以 f(x)極小值 ＝ f(x2)． f(x2)－ 32的證 明如下： 由 f′(x2)＝ 0，得 2ax22－ 2x2＋ 1＝ 0，則 a＝ 2x2－ 12x22∈ ??? ???0， 12 ， 解得 x212且 x2≠ 1. f(x2)＝ x22 2x2－ 12x22－ 2x2＋ ln x2＝－ x2－ 12＋ ln x2， 令 g(x)＝－ x－ 12＋ ln x， g′(x)＝－ 1＋ 1x＝ 1－ xx ，則 g(x)在 ??? ???12， 1 上單調(diào)遞增，在 (1，＋ ∞ )上單調(diào)遞減， 所以 g(x)maxg(1)＝－ 32，所以 f(x)的極小值小于－ 32. 6． 解： (1)證明： f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c， 由題設(shè)，得 f′(1)＝ 3a＋ 2b＋ c＝ 0， ① f′ (m)＝ 3am2＋ 2bm＋ c＝－ 3a.② ∵ abc， ∴ 6a3a＋ 2b＋ c6c， ∴ a0， c0. 將 ① 代入 ② 得 3am2＋ 2bm－ 2b＝ 0， ∴ Δ＝ 4b2＋ 24ab≥ 0， 得 ??? ???ba2＋ 6ba ≥ 0， ∴ ba≤ － 6 或 ba≥ 0③ . 21 將 c＝－ 3a－ 2b 代入 abc 中，得－ 1ba1.④ 由 ③④ 得 0≤ ba1. (2)由 (1)知， f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c(a0)， Δ＝ 4b2－ 12ac0， ∴ 方程 f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c＝ 0 有兩個(gè)不等的實(shí)根，不妨設(shè)其為 x1， x2， 又 f′(1)＝ 3a＋ 2b＋ c＝ 0， ∴ 不妨令 x1＝ 1，則 x2＝－ 2b3a－ 1， ∴ x20x1， ∴ 當(dāng) xx2或 xx1時(shí)， f′(x)0；當(dāng) x2xx1時(shí)， f′(x)0. ∴ 函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 [x2， x1]． ∵ |x1－ x2|＝ 2＋ 2b3a， 0≤ ba1， ∴ 2≤ |x1－ x2|83. ∵ 函數(shù) f(x)在 區(qū)間 [s， t]上單調(diào)遞增， ∴ [s， t]?[x2， x1]， ∴ 0|s－ t|83，即 |s－ t|的取值范圍是 ??? ???0， 83 . 7． 解 (1)當(dāng) a＝ 32時(shí)， f(x)＝ ex2－1ex－32x， f′ (x)＝ 12ex[(ex)2－ 3ex＋ 2]＝ 12ex(ex－ 1)(ex－ 2)， 令 f′ (x)＝ 0，得 ex＝ 1或 ex＝ 2，即 x＝ 0或 x＝ ln 2； 令 f′ (x)0，得 x0 或 xln 2； 令 f′ (x)0，得 0xln 2. ∴ f(x)的增區(qū)間是 (－ ∞ ， 0]， [ln 2，＋ ∞ )，減區(qū)間是 (0， ln 2)． (2)f′ (x)＝ ex2＋1ex－ a， 令 ex＝ t，由于 x∈ [－ 1,1]， ∴ t∈ [1e， e]． 令 h(t)＝ t2＋ 1t(t∈ [1e， e])， h′ (t)＝ 12－ 1t2＝ t2－ 22t2 ， ∴ 當(dāng) t∈ [1e， 2)時(shí)， h′ (t)0，函數(shù) h(t)為單調(diào)遞減函數(shù)； 當(dāng) t∈ ( 2， e]時(shí)， h′ (t)0，函數(shù) h(t)為單調(diào)遞增函數(shù)． 故 h(t)在 [1e， e]上的極小值點(diǎn)為 t＝ 2，且 h( 2)＝ 2. 又 h(e)＝ e2＋ 1eh(1e)＝ 12e＋ e， 22 ∴ 2≤ h(t)≤ e＋ 12e. ∵ 函數(shù) f(x)在 [－ 1,1]上為單調(diào)函數(shù)， ① 若函數(shù)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞增，則 a≤ t2＋ 1t對(duì) t∈ [1e， e]恒成立，所以 a≤ 2； ② 若函數(shù) f(x)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞減，則 a≥ t2＋ 1t對(duì) t∈ [1e， e]恒成立，所以 a≥ e＋ 12e， 綜上可得 a的取值范圍是 (－ ∞ ， 2]∪ [e＋ 12e，＋ ∞ )． 8． 解 (1)由已知得， f′ (x)＝ (x2＋ ax＋ 1)ex＋ ex(2x＋ a)＝ [x2＋ (a＋ 2)x＋ a＋ 1]ex＝ (x＋ a＋ 1)(x＋ 1)ex. ∵ a0， ∴ － a－ 1－ 1. ∴ 當(dāng) x∈ (－ ∞ ，－ a－ 1)時(shí)， f′ (x)0；當(dāng) x∈ (－ a－ 1，－ 1)時(shí)， f′ (x)0；當(dāng) x∈(－ 1，＋ ∞ )時(shí)， f′ (x)0. f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (－ ∞ ，－ a－ 1)和 (－ 1，＋ ∞ )，單調(diào)遞減區(qū)間為 (－ a－ 1，－ 1)． 且當(dāng) x＝－ 1時(shí)， f(x)有極小值 (2－ a)e－ 1， 當(dāng) x＝－ a－ 1時(shí)， f(x)有極大值 (a＋ 2)e－ a－ 1. (2)由 (1)知， f′ (x)＝ (x＋ a＋ 1)(x＋ 1)ex，令 g(x)＝ f′ (x)，則 g′ (x)＝ [x2＋ (a＋ 4