【文章內容簡介】 概型嗎？為什么？若是，則求所取兩數(shù)之一是 2的概率． 【思路探究】 要判斷試驗是否為古典概型，只需看該試驗中所有可能的結果是否為有限個；每個結果出現(xiàn)的可能性是否相同． 【自主解答】 (1)在數(shù)軸的 0～ 3之間任取一點，此點可以在 0～ 3之間的任一位置，且在每個位置的可能性是相同的，具備等可能性．但試驗結果有無限多個，不滿足古典概型的特征 “ 有限性 ” ，因此不屬于 古典概型． (2)因為此試驗的所有基本事件共 6個： (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)，且每個事件的出現(xiàn)是等可能的，因此屬于古典概型，兩數(shù)之一是 2的概率為 p＝ 36＝ 12. 1．列出隨機試驗的所有基本事件，進而求解相應事件概率． 2．判斷是否為古典概型關鍵是看試驗是否同時具備古典概型的兩個特征． 下列概率模型中，是 古典概型的個數(shù)為 ( ) (1)從區(qū)間 [1,10]內任取一個數(shù)，求取到 1的概率； (2)從 [1,10]中任意取一個整數(shù)，求取到 1的概率； (3)在一個正方形 ABCD內畫一點 P，求 P剛好與點 A重合的概率； (4)向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【解析】 第 1個概率模型不是古典概型，因為從區(qū)間 [1,10]內任意取出一個數(shù)，有無數(shù)個對象可取，所以不滿足 “ 有限性 ” ． 第 2 個概率模型是古典概型，因為試驗結果只有 10個，而且每個數(shù)被抽到的可能性相等，即 滿足有限性和等可能性； 第 3個概率模型不是古典概型，而是以后將學的幾何概型； 第 4個概率模型也不是古典概型，因為硬幣不均勻，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等． 【答案】 A 古典概型概率的計算 同時拋擲三枚質地均勻的硬幣，計算： (1) 恰有兩枚出現(xiàn)正面的概率； (2)至少有兩枚出現(xiàn)正面的概率． 【思路探究】 先由古典概型的定義判斷概型，然后由概率公式求解． 【自主解答】 依題意所有基本事件有 (正，正 ，正 )， (正，正，反 )， (正，反，正 )，(正，反，反 )， (反，正，正 )， (反，正，反 )， (反，反，正 )， (反，反，反 )． (1)用 A表示 “ 恰有兩枚出現(xiàn)正面 ” 這一事件，則事件 A包含 (正，正，反 )， (正，反，正 )， (反，正，正 )三個基本事件，而基本事件總數(shù)共 8個，故所求概率 P(A)＝ 38. (2)用 B表示 “ 至少有兩枚出現(xiàn)正面 ” 這一事件，則事件 B包含 (正，正，正 )， (正，正，反 )， (正，反，正 )， (反，正，正 )四個基本事件，而基本事件總數(shù)共 8個，故所求概率 P(B)＝ 48＝ 12. 1．在列出所有可能出現(xiàn)的結果時應注意按一個確定的順序．保證不重不漏． 2．古典概型概率計算的步驟是：首先判斷試驗是不是古典概型，若是，則用列舉法列出所有基本條件： (1)計算所有的基本事件數(shù) n； (2)計算事件 A包含的基本事件數(shù) m； (3)計算 P(A)， P(A)＝ mn. 將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)， (1)求點數(shù)之和是 5的概 率； (2)設 a， b分別是將一枚骰子先后拋擲兩次向上的點數(shù)，求式子 2a－ b＝ 1成立的概率． 【解】 將一枚骰子先后拋擲兩次，向上的點數(shù)分別記為 (a， b)，則全部基本事件有 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6)(3,1)，(3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)， (3,6)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， (4,5)， (4,6)， (5,1)，(5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,5)， (5,6)， (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) (1)點數(shù)之和是 5的基本事件有 (1,4)， (2,3)， (3,2)， (4,1)． 所以點數(shù)之和是 5的概率是 436＝ 19. (2)由 2a－ b＝ 1可知 a＝ b，點數(shù)相等的基本事件有 (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)， (5,5)，(6,6)， 所 以 式 子 2a － b ＝ 1 成 立 的 概 率 是 636 ＝16 . 古典概型概念不清致誤 把三枚硬幣一起擲出，求出現(xiàn)兩枚正面向上、一枚反面向上的概率． 【錯解】 三枚硬幣擲出，所有可能的結果有 2179。2179。2 ＝ 8種，而出現(xiàn)兩正一反是一種結果，故所求概率 P＝ 18. 【錯因分析】 在所有的 8種結果中，兩正一反并不是一種結果，而是有三種結果： (正，正，反 )， (正，反，正 )(反，正，正 )，上述錯解在于對于等可能性事件的概念理解不清，所有 8種結果的出現(xiàn)是等可能性的，如果把上述三種結果看作一種結果就 不是等可能性事件了，應用求概率的基本公式 P＝ mn顯然就是錯誤的． 【防范措施】 古典概型的計算務必緊扣它的兩個特征有限、等可能． 【正解】 所求概率 P＝ 38. 解決古典概型應注意的問題 1．判斷試驗是否具有有限性和等可能性． 2．要分清基本事件總數(shù) n及事件 A包含的基本事件數(shù) m，利用公式 P(A)＝ mn求解． 3 ． 常 用 列 舉 法 、 列 表 法 、 樹 狀 圖 法 求 基 本 事 件 總數(shù) . 1． 下列事件屬于古典概型是 ( ) A．任意拋擲兩顆均勻的正方體骰子，所得點數(shù)之和作為基本事件 B．籃球運動員投籃，觀察他是否投中 C．測量一杯水中水分子的個數(shù) D．在 4個完全相同的小球中任取 1個 【解析】 判斷一個事件是否為古典概型，主要看它是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性． 【答案】 D 2．廣州亞運會要在某高校的 8 名懂外文的志愿者中選 1 名，其中有 3 人懂日文，則選到懂日文的志愿者的概率為 ( ) 【解析】 8名懂外文的志愿者中隨機選 1名有 8個基本事件， “ 選到懂日文的志愿者 ”包含 3個基本事件，因此所求概率為 38. 【答案】 A 3． (2020178。 重慶高考 )若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為 ________． 【解析】 甲、乙、丙三人隨機地站成一排有 (甲乙丙 )、 (甲丙乙 )、 (乙甲丙 )、 (乙丙甲 )、 (丙甲乙 )、 (丙乙甲 )共 6種排法，甲、乙相鄰而站有 (甲乙丙 )、 (乙甲丙 )、 (丙甲乙 )、(丙乙甲 )共 4種排法，由概率計算公式得甲、乙兩人相鄰而站的概率為 46＝ 23. 【答案】 23 4．一個口袋中裝有 2個白球和 2個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出 2個球． (1)寫出該試驗的基本事件及基本事件總數(shù)； (2)求至少摸到 1個黑球的概率． 【解】 (1)設 2個白球編號為 1,2,2個黑球編號為 3,4，則基本事件是 (1,2)， (1,3)，(1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)，共有 6個基本事件． (2)設至少摸到 1個黑球為事件 A，則事件 A包含的基本事件共有 5個， 所以 P(A) ＝56 . 一、選擇題 1．一個家庭有兩個小孩，則所有可能的基本事件有 ( ) A． (男，女 )， (男，男 )， (女，女 ) B． (男，女 )， (女，男 ) C． (男，男 )， (男，女 )， (女，男 )， (女，女 ) D． (男，男 )， (女，女 ) 【解析】 兩個孩子有先后出生之分，與順序有關．如 (男，女 )和 (女，男 )是兩種不同的結果． 【答案】 C 2．從 1,2， ? ， 9共 9個數(shù)字中任取 一個數(shù)字，取出的數(shù)字為偶數(shù)的概率為 ( ) 【解析】 1,2,3， ? ， 9中共有 5個奇數(shù)， 4個偶數(shù)，故任取一個數(shù)字為偶數(shù)的概率為49. 【答案】 C 3．下列隨機事件的數(shù)學模型屬于古典概型的是 ( ) A．在適宜的條件下，種一粒種子，它可能發(fā)芽，也可能不發(fā)芽 B．在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的所有點中任取一個點 C．某射擊手射擊 一次，可能命中 0環(huán)、 1環(huán)、 2環(huán)、 ? 、 10環(huán) D．四位同學用抽簽的方法選一人去參加一個座談會 【解析】 利用古典概型的兩個條件判斷．在 A中，事件 “ 發(fā)芽 ” 與事件 “ 不發(fā)芽 ” 發(fā)生的概率不一定相等，與古典概型的第二個條件矛盾；在 B中，橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的所有點為無限個，從而有無限個結果，這與古典概型的第一個條件矛盾；在 C 中，命中 0環(huán)、 1環(huán)、 2環(huán)、 ? 、 10環(huán)的概率都不一樣． 【答案】 D 4．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為 m， n，則點 P(m， n)在直線 x＋ y＝ 4 上的概率是 ( ) 【解析】 由題意 (m， n)的取值共有 (1,1)， (1,2)， (1,3)， ? ， (1,6)； (2,1)， (2,2)， ? ，(2,6)； ? ； (6,1)， (6,2)， ? ， (6,6)這 36 種情況，而滿足點 P(m， n)在直線 x＋ y＝ 4 上的取值情況有 (1,3)， (2,2)， (3,1)共 3種情況，故所求概率為 336＝ 112. 【答案】 D 5． (2020178。 課標全國卷 Ⅰ )從 1,2,3,4中任取 2 個不同的數(shù)，則取出的 2個數(shù)之差的絕對值為 2的概率是 ( ) 【解析】 從 1,2,3,4中任取 2個不同的數(shù)，有 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,3)，(2,4)， (3,1)， (3,2)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)，共 12種情形，而滿足條件 “2 個數(shù)之差的絕對值為 2” 的只有 (1,3)， (2,4)， (3,1)， (4,2)，共 4種 情形，所以取出的 2個數(shù)之差的絕對值為 2的概率為 412＝ 13. 【答案】 B 二、填空題 6． (2020178。 浙江高考 )從 3男 3女共 6名同學中任選 2名 (每名同學被選中的機會均等 )，這 2名都是女同學的概率等于 ________． 【解析】 用 A， B， C表示三名男同學，用 a， b， c表示三名女同學，則從 6名同學中選出 2人的所有選法為： AB， AC， Aa， Ab， Ac， BC， Ba， Bb， Bc， Ca， Cb， Cc， ab， ac， bc，共 15種選法，其中都是女同學的選法有 3種，即 ab， ac， bc，故所求概率為 315＝ 15. 【答案】 15 7．在 1,2,3,4,5 這 5個自然數(shù)中，任取兩個數(shù)，它們的積是偶數(shù)的概率是 ________． 【解析】 從 5個自然數(shù)中任取兩個數(shù)共有 10種取法，列舉如下： (1,2)， (1,3)， (1,4)，(1,5)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (3,4)， (3,5)， (4,5)，若兩個數(shù)的積是偶數(shù)，則這兩個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)，滿足條件的有 (1,2)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (3,4)， (4,5)共 7種情況，故所求概率為 710. 【答案】 710 8．若以連續(xù)擲兩次均勻的骰子分別得到的點數(shù) m、 n 作為 P 點的坐標，則點 P 在圓 x2＋ y2＝ 16內的概率為 ________． 【解析】 基本事件的總數(shù)為 6179。6 ＝ 36(個 )，設事件 A＝ “ P(m， n)落在圓 x2＋ y2＝ 16內 ” ，則 A所包含的基本事件有 (1,1)、 (2,2)、 (1,3)、 (1,2)、 (2,3)、 (3,1)、 (3,2)、 (2,1)共 8個．所以 P(A)＝ 836＝ 29. 【答案】 29 三、解答題 9．一個口袋內裝有大小、質地相同的 1個白球和已有不同編號的 3個黑球，從中任意摸出 2個球． (1)共有多少種不同的基本事件，這些基本事件是否為等可能的？該試驗屬于古典概型嗎？ (2)摸出的 2個球都是黑球記為事件 A，問事件 A包含幾個基本事件； (3)計算事件 A的概率． 【解】 (1)任意摸出 2球，共有 “ 白球和黑球 1” 、 “ 白球和黑球 2” 、 “ 白球和黑球3” 、 “ 黑球 1和黑球 2” 、 “ 黑球 1和黑球 3” 、 “ 黑球 2和黑球 3”6 個基本事件．因為4個球的大小 、質地相同，所以摸出每個球是等可能的，故 6個基本事件是等可能的．由古典概型定義知這個試驗屬于古典概型． (2)從 4個球中摸出 2個黑球包含 3個基本事件，故事件 A包含 3個基本事件． (3)因為試驗中基本事件總數(shù) n＝ 6，而事件 A包含的基本事件數(shù) m＝ 3， 所以 P(A)＝ mn＝ 36＝ 12. 10． (2020178。 陜西高考 )有 7位歌手 (1至 7號 )參加一場歌唱比賽，由 500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次．根據年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下： 組別 A B C D E 人數(shù) 50 100 150 150 50 (1)為