北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)23函數(shù)的奇偶性與周期性(編輯修改稿)
2024-12-25 01:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 f ( － x ) ＝ 2 f ( x )或 f ( x ) f ( － x ) ＝ f 2( x ) 或 f ( x )/ f ( － x ) ＝ 1. 則 f ( x ) 為偶函數(shù)． ( 2) 圖像法：利用 “ 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱 ” 來判斷． ( 3) 復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷 若復(fù)合函數(shù)由若干個函數(shù)復(fù)合而成，則復(fù)合函數(shù)可依若干個函數(shù)的奇偶性而定，概括為 “ 同奇為奇，一偶則偶 ” ． (4) 性質(zhì)法 偶函數(shù)的和、差、積、商 ( 分母不為零 ) 仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇 ( 偶 ) 數(shù)個奇函數(shù)的積、商 ( 分母不為零 ) 為奇 ( 偶 ) 函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．利用上述結(jié)論時要注意函數(shù)的定義域是各個函數(shù)定義域的交集． 2 ．分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi) x 取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時可依據(jù) x 的范圍取相應(yīng)的化簡解析式，判斷 f ( x ) 與 f ( － x ) 的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖像作判斷． ( 文 ) 設(shè)函數(shù) f ( x ) 和 g ( x ) 分別是 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 ( ) A ． f ( x ) ＋ | g ( x )| 是偶函數(shù) B ． f ( x ) － | g ( x )| 是奇函數(shù) C ． | f ( x )| ＋ g ( x ) 是偶函數(shù) D ． | f ( x )| － g ( x ) 是奇函數(shù) [ 答案 ] A [ 解析 ] 本題考查奇、偶函數(shù)的定義以及判斷．可逐項用定義判斷． ∵ f ( － x ) ＋ | g ( － x )| ＝ f ( x ) ＋ |－ g ( x )| ＝ f ( x ) ＋ | g ( x )| ， ∴ f ( x ) ＋ | g ( x )| 為偶函數(shù)．選 A. ( 理 )( 2020 廣東高考 ) 定義域為 R 的四個函數(shù) y ＝ x3， y ＝ 2x，y ＝ x2＋ 1 ， y ＝ 2sin x 中，奇函數(shù)的個數(shù)是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] 本題考查函數(shù)奇偶性的判定，這四個函數(shù)的定義域均為 R . ( － x )3＝－ x3 2sin( － x ) ＝－ 2sin x ∴ y ＝ x3， y ＝ 2sin x 是奇函數(shù) . 奇偶性的應(yīng)用 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋ bx2＋ cx ( x ∈ R ) ，已知 g ( x ) ＝ f ( x )－ f ′ ( x ) 是奇函數(shù)． ( 1) 求 b ， c 的值； (2) 求 g ( x ) 的單調(diào)區(qū)間與極值． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) ∵ f ( x ) ＝ x3＋ bx2＋ cx ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 bx ＋ c ， ∴ g ( x ) ＝ f ( x ) － f ′ ( x ) ＝ x3＋ ( b － 3) x2＋ ( c － 2 b ) x ＋ c ， ∵ g ( x ) 是一個奇函數(shù)， ∴ g ( 0) ＝ 0 ，得 c ＝ 0 ， 由奇函數(shù)定義 g ( － x ) ＝－ g ( x ) 得 b ＝ 3. ( 2) 由 ( 1) 知 g ( x ) ＝ x3－ 6 x ， 從而 g ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 6 ， g ′ ( x ) 0 得 x 2 或 x － 2 ； g ′ ( x ) 0 得－ 2 x 2 . 由此可知， ( － ∞ ，－ 2 ) 和 ( 2 ，＋ ∞ ) 是函數(shù) g ( x ) 的遞增區(qū)間； ( － 2 ， 2 ) 是函數(shù) g ( x ) 的遞減區(qū)間． g ( x ) 在 x ＝－ 2 時，取得極大值，極大值為 4 2 ； g ( x ) 在 x ＝ 2 時，取得極小值，極小值為－ 4 2 . [ 方法總結(jié) ] 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用： 1 ．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于 f ( x ) 的方程，從而可得 f ( x ) 的解析式． 2 ．已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù)．常常采用待定系數(shù)法：利用 f ( x )177。 f ( － x ) ＝ 0 產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值． 3 ．奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反． ( 文 ) 設(shè) f ( x ) 為定義在 R 上的奇函數(shù)，當 x ≥ 0 時， f ( x ) ＝ 2x＋ 2 x ＋ b ( b 為常數(shù) ) ，則 f ( － 1) ＝ ( ) A ． 3 B ． 1 C ．－ 1 D ．－ 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] ∵ f ( x ) 是奇函數(shù)， ∴ f ( 0) ＝ 0 ， 即 0 ＝ 20＋ b ， ∴ b ＝－ 1 ， 故 f ( 1) ＝ 2 ＋ 2 － 1 ＝ 3 ， ∴ f ( － 1) ＝－ f ( 1) ＝－ 3. ( 理 ) 若函數(shù) f ( x ) 、 g ( x ) 分別為 R 上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足 f ( x ) － g ( x ) ＝ ex，則有 ( ) A ． f ( 2) f ( 3) g ( 0) B ． g ( 0) f ( 3) f ( 2 ) C ． f ( 2) g ( 0) f ( 3 ) D ． g ( 0) f ( 2) f ( 3) [ 答案 ] D [ 解析 ] 由題意得 f ( x ) － g ( x ) ＝ ex， f ( － x ) － g ( － x ) ＝ e－ x，即－ f ( x ) － g ( x ) ＝ e－ x，由此解得 f ( x ) ＝ex－ e－ x2， g ( x ) ＝－ex＋ e－ x2，g ( 0) ＝－ 1 ，函數(shù) f ( x ) ＝ex－ e－ x2在 R 上是增函數(shù)，且 f ( 3) f ( 2)＝e2－ e－ 220 ， 因此 g ( 0) f ( 2) f ( 3) ，選 D. 函數(shù)的周期性及應(yīng)用 已知函數(shù) f ( x ) 是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的奇函 數(shù)，且 f ( x )的圖像關(guān)于 x ＝ 1 對稱，當
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