32均值不等式(二)學(xué)案人教b版必修5(編輯修改稿)
2024-12-25 00:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 自主探究 證明 當(dāng) x∈ (0，＋ ∞ )時，設(shè) x1x2， 則 y1－ y2＝ x1＋ ax1－ x2－ ax2 ＝ (x1－ x2)＋ a?x2－ x1?x1x2＝ ?x1－ x2??x1x2－ a?x1x2. ∴ 當(dāng) x x2∈ (0， a)時， y1－ y20，即 y1y2； 當(dāng) x x2∈ ( a，＋ ∞ )時， y1－ y20，即 y1y2. ∴ y在 (0， a)上是減函數(shù)，在 ( a，＋ ∞ )上是增函數(shù) ． 若求 y＝ sin x＋ 4sin x， x∈ (0， π)的最小值 ． 可令 t＝ sin x∈ (0， 1]， 則 y＝ t＋ 4t在 t∈ (0,1]上是減函數(shù) ． ∴ y≥ 5，當(dāng) t＝ 1，即 sin x＝ 1， x＝ π2時取 “ ＝ ” ． 對點(diǎn)講練 例 1 D [f(x)＝ x2－ 4x＋ 52x－ 4 ＝?x－ 2?2＋ 12?x－ 2? ＝ 12?? ???x－ 2?＋ 1x－ 2 ≥ 1. 當(dāng)且僅當(dāng) x－ 2＝ 1x－ 2，即 x＝ 3 時等號成立 ． ] 變式訓(xùn)練 1 解 因?yàn)?x54，所以 5－ 4x0， 所以 f(x)＝ 4x－ 2＋ 14x－ 5＝－ ?? ??5－ 4x＋ 15－ 4x ＋ 3 ≤ － 2 ?5－ 4x? 15－ 4x＋ 3＝－ 2＋ 3＝ 1 當(dāng) 5－ 4x＝ 15－ 4x，即 x＝ 1 時， f(x)max＝ 1. 例 2 解 方法一 ∵ 1x＋ 9y＝ 1， ∴ x＋ y＝ (x＋ y)?? ??1x＋ 9y ＝ 10＋ yx＋ 9xy . ∵ x0， y0， ∴ yx＋ 9xy ≥ 2 yx9xy ＝ 6. 當(dāng)且僅當(dāng) yx＝ 9xy ，即 y＝ 3x時，取等號 ． 又 1x＋ 9y＝ 1， ∴ x＝ 4， y＝ 12. ∴ 當(dāng) x＝ 4， y＝ 12 時， x＋ y取最小值 16. 方法二 由 1x＋ 9y＝ 1，得 x＝ yy－ 9， ∵ x0， y0， ∴ y9. x＋ y＝ yy－ 9＋ y＝ y＋ y－ 9＋ 9y－ 9 ＝ y＋ 9y－ 9＋ 1 ＝ (y－ 9)＋ 9y－ 9＋ 10.∵ y9， ∴ y－ 90， ∴ y－ 9＋ 9y－ 9＋ 10≥ 2 ?y－ 9? 9y－ 9＋ 10＝ 16， 當(dāng)且僅當(dāng) y－ 9＝ 9y－ 9，即 y＝ 12 時取等號 ． 又 1x＋ 9y＝ 1，則 x＝ 4， ∴ 當(dāng) x＝ 4， y＝ 12 時， x＋ y取最小值 16. 變式訓(xùn)練 2 解 方法一 ∵ a＋ b＋ 3＝ ab≤ ?a＋ b?24 ， 設(shè) a＋ b＝ t， t0，則 t2≥ 4t＋ 12. 解得： t≥ 6 (t≤ － 2 舍去 )， ∴ (a＋ b)min＝ 6. 方法二 ∵ ab＝ a＋ b＋ 3， ∴ b＝ a＋ 3a－ 10， ∴ a1. ∴ a＋ b＝ a＋ a＋ 3a－ 1＝ a＋ 4a－ 1＋ 1 ＝ (a－ 1)＋ 4a－ 1＋ 2≥ 2 ?a－ 1? 4a－ 1＋ 2＝ 6. 當(dāng)且僅當(dāng) a－ 1＝ 4a－ 1
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