初三復(fù)習(xí)專題--二次函數(shù)(二)(編輯修改稿)
2025-12-24 21:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 法是一種重要的數(shù)學(xué)方法 , 用途非常廣泛 ,配方時 ,先提取二次項系數(shù) ,將二次項系數(shù)化為 1,原常數(shù)項不必參與提取 ,然后在括號里配上新常數(shù)項 一次項系數(shù)一半的平方 . 配方時特別注意常數(shù)項的計算不能出錯 . ⑵ 牢記頂點坐標(biāo)公式非常必要 , 有時直接用公式也不失為一種簡潔的方法 . 例 ,學(xué)生對概念的接受能力 y與提出概念所用的時間 χ(單位：分 )之間滿足函數(shù)關(guān)系 :y=++43(0≤χ≤30).y值越大 ,表示接受能力越強(qiáng) .⑴ χ在什么范圍內(nèi) ,學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？ χ在什么范圍內(nèi) ,學(xué)生的接受能力逐步降低？⑵第 10分鐘時 ,學(xué)生的接受能力是多少？⑶第幾分鐘時 ,學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？ 分析 :本題主要考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì) ,主要是頂點、對稱軸以及在對稱軸兩側(cè) y隨 χ的增大而變化等知識在實際問題中的應(yīng)用 . 解 :⑴ y=++43=(χ13)2+(0 ≤χ≤30).由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 :當(dāng) 0≤χ≤13時 ,學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng) . 當(dāng) 13＜ χ≤30時 ,學(xué)生的接受能力逐步降低 . ⑵ 第 10分鐘時 ,學(xué)生的接受能力是 59. ⑶ 二次函數(shù)圖象的頂點的縱坐標(biāo) ,就是函數(shù)y的最大值或最小值 . 由于函數(shù)的二次項系數(shù) a=0,∴ 第 13分鐘學(xué)生的接受能力最強(qiáng) . 例 y=χ22χ3,且 2≤χ≤ y的最大值或最小值 . 分析 :本例中自變量 χ的取值范圍不再是全體實數(shù) ,因此畫出的圖象是有限的一部分 ,先畫出圖象 , 由圖象觀察出最大值和最小值 . O χ y 4 1 2 3 解 : y=χ22χ3=(χ1)24 ∴ 頂點坐標(biāo)為 (1,4). 當(dāng) 2≤χ≤3時 ,由圖象知 當(dāng) χ=2時 , y最小值 =3。 當(dāng) χ=3時 , y最大值 =0. 說明 :本例中函數(shù)自變量的取 值范圍受限制 ,因此考慮最值情況必須在自變量的取值范圍之內(nèi) ,結(jié)合圖象可知 ,最高點的縱坐標(biāo)即最大值 ,最低點的縱坐標(biāo)即最小值 .切不可以一般情況下的頂點坐標(biāo)來確定最大 (小 )值 . 說明 :比較同一拋物線上幾個 點的縱坐標(biāo)的大小 ,可以用計算求值再比較的方法 ,更多是運用函數(shù)的增減性 ,以及結(jié)合圖象 ,描出點的大致位置 ,再根據(jù)點的 高低確定縱坐標(biāo)的大小 .所以研究函數(shù)問題 ,一般都應(yīng)與圖象結(jié)合起來 ,更形象、簡捷 . 分析 :一 :將各點的橫坐標(biāo)分別代入 解析式 ,求出對應(yīng)的 y y y3的值 ,再比較其大小 ,但本例計算較繁 ,比較大小困難 ,不是理想的方法 . 二 :根據(jù)二次函數(shù)圖象的特征來比較 ,利用增減性及點在拋物線上的大致位置可以確定 y y y3的大小 . D H χ 例 y=χ22χ3的圖象與 χ軸交于 A、 B兩點 (A在 B的左側(cè) ),與 y軸交于點 C,頂點為 P.⑴ 求 A 、 B、 C三點的坐標(biāo) 。⑵ 求 AB的長 。⑶ 求四邊形 ACPB的面積 . O B P C A y 分析 :⑴ A、 B是 χ軸上的點 ,它們的縱坐標(biāo)是 0,故令y=0,得方程 χ22χ3=0,解方程可求得對應(yīng)的橫坐標(biāo) 。C在 y軸上 ,它的橫坐標(biāo)為 0,故令 χ=0可求得對應(yīng)縱坐標(biāo) . ⑵ 一種考慮是根據(jù)已求得的 A、 B兩點的坐標(biāo)來求得 。 另一種考慮是用 │χBχA│, 結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系 , 整體求解 . ⑶ 結(jié)合圖形 ,將四邊形ABPC分割成兩個直角三角形和一個梯形 , 再求出它們的面積之和 . 解 :⑴ 令 y=0,則 χ2χ３ =0,解得 χ1=1,χ2=3.∵ A在 B的左側(cè) ,∴ A(1,0),B(3,0) 令 χ=0,則 y=3． ∴ C(0,3) O B χ P C A y 例 y=χ22χ3的圖象 與 χ軸交于 A、B兩點 (A在 B的左側(cè) ),與 y軸交于點 C,頂點為 P.⑴ 求A 、 B、 C三點的坐標(biāo) 。⑵ 求 AB的長 。⑶ 求四邊形ACPB的面積 . H (3)求平面直角坐標(biāo)系中不規(guī)則多邊形的面積時 ,一般通過分割成直角三角形和直角梯形來完成 ,或有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形來完成 . 例 y=χ22(m+1)χ+2(m1)⑴ 求證 :不論m取何實數(shù)，拋物線與 χ軸總有兩個交點；⑵若拋物線與 χ軸的一個交點為（３ ,0),試求 m的值及另一個交點的坐標(biāo) 。⑶ 若拋物線與 χ軸的兩個交點在(4,0)的兩側(cè) ,試確定 m的取值范圍 . 分析 證明△ 0. : ⑴ 要證明拋物線與 χ軸有兩個交點 ,只需證明△ 0. ⑵ 將已知點的坐標(biāo)代入解析式 ,可求 m的值 。再令 y=0,解方程可求另一個交點的坐標(biāo) . ⑶ 由于交點在 (4,0)的兩側(cè) ,可設(shè) χ14,χ24,則 (χ14)(χ24)0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求得 m的范圍 . (1)證明 :△ =[2(m+1)]24 2(m1) =4m2+8m+48m+8=4m2+12. ∵ m2≥0,∴ 4m2≥0,∴ 4m2+12＞ 0,∴ △ ＞ 0. ∴ 不論 m取何實數(shù)，拋物線與 χ軸總有兩個交點 . 例 y=χ22(m+1)χ+2(m1)⑴ 求證 :不論 m取何實數(shù)，拋物線與 χ軸總有兩個交點； ⑵若拋物線與 χ軸的一個交點為（３ ,0),試求 m的值及另一個交點的坐標(biāo) 。⑶ 若拋物線與 χ軸的兩個交點在 (4,0)的兩側(cè) ,試確定 m的取值范圍 . 例 y=χ22(m+1)χ+2(m1)⑴ 求證 :不論 m取何實數(shù)，拋物線與 χ軸總有兩個交點； ⑵若拋物線與 χ軸的
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