【正文】 ,描出點的大致位置 ,再根據(jù)點的 高低確定縱坐標(biāo)的大小 .所以研究函數(shù)問題 ,一般都應(yīng)與圖象結(jié)合起來 ,更形象、簡捷 . 分析 :一 :將各點的橫坐標(biāo)分別代入 解析式 ,求出對應(yīng)的 y y y3的值 ,再比較其大小 ,但本例計算較繁 ,比較大小困難 ,不是理想的方法 . 二 :根據(jù)二次函數(shù)圖象的特征來比較 ,利用增減性及點在拋物線上的大致位置可以確定 y y y3的大小 . D H χ 例 y=χ22χ3的圖象與 χ軸交于 A、 B兩點 (A在 B的左側(cè) ),與 y軸交于點 C,頂點為 P.⑴ 求 A 、 B、 C三點的坐標(biāo) 。 (2)正方形 OABC繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)多少度時 ,點 A再次落在拋物線 y=a χ2的圖象上？并求這個點的坐標(biāo) . χ O A B C y 分析 :(1)關(guān)鍵 是 求正方形OABC繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)30176。 二 次 函 數(shù)（二） 二次函數(shù) (部分內(nèi)容 ) 一 :二次函數(shù) 重點難點 重點是二次函數(shù)的概念 . 難點是根據(jù)實際問題寫出二次函數(shù)的表達(dá)式 . 形如 y=aχ2+bχ+c(a、 b、 c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做 χ的二次函數(shù) . 如 等 ,都是二次函數(shù) 知識要點 ⑴ 任何一個二次函數(shù)的解析式 ,都可以化成 y=aχ2+bχ+c(a≠0)的形式 ,因此我們又把 y=aχ2+bχ+c(a≠0)叫做二次函數(shù)的一般形式 . ⑵ 二次函數(shù) y=aχ2+bχ+c中 ,a、 b、 c是常數(shù) ,a必須不為零 ,否則沒有二次項就不再是二次函數(shù) ,而 b、 c 可以是任何常數(shù) .特別地 ,當(dāng) b=0時 ,二次函數(shù)形如 y=aχ2+c。 ,使點 A落在拋物線 y=a χ2 (a0)的圖象上 .(1)求拋物線的解析式 。二是利用頂點坐標(biāo)公式 . 說明 :⑴ 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法 , 用途非常廣泛 ,配方時 ,先提取二次項系數(shù) ,將二次項系數(shù)化為 1,原常數(shù)項不必參與提取 ,然后在括號里配上新常數(shù)項 一次項系數(shù)一半的平方 . 配方時特別注意常數(shù)項的計算不能出錯 . ⑵ 牢記頂點坐標(biāo)公式非常必要 , 有時直接用公式也不失為一種簡潔的方法 . 例 ,學(xué)生對概念的接受能力 y與提出概念所用的時間 χ(單位：分 )之間滿足函數(shù)關(guān)系 :y=++43(0≤χ≤30).y值越大 ,表示接受能力越強(qiáng) .⑴ χ在什么范圍內(nèi) ,學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？ χ在什么范圍內(nèi) ,學(xué)生的接受能力逐步降低？⑵第 10分鐘時 ,學(xué)生的接受能力是多少？⑶第幾分鐘時 ,學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？ 分析 :本題主要考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì) ,主要是頂點、對稱軸以及在對稱軸兩側(cè) y隨 χ的增大而變化等知識在實際問題中的應(yīng)用 . 解 :⑴ y=++43=(χ13)2+(0 ≤χ≤30).由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 :當(dāng) 0≤χ≤13時 ,學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng) . 當(dāng) 13＜ χ≤30時 ,學(xué)生的接受能力逐步降低 . ⑵ 第 10分鐘時 ,學(xué)生的接受能力是 59. ⑶ 二次函數(shù)圖象的頂點的縱坐標(biāo) ,就是函數(shù)y的最大值或最小值 . 由于函數(shù)的二次項系數(shù) a=0,∴ 第 13分鐘學(xué)生的接受能力最強(qiáng) . 例 y=χ22χ3,且 2≤χ≤ y的最大值或最小值 . 分析 :本例中自變量 χ的取值范圍不再是全體實數(shù) ,因此畫出的圖象是有限的一部分 ,先畫出圖象 , 由圖象觀察出最大值和最小值 . O χ y 4 1 2 3 解 : y=χ22χ3=(χ1)24 ∴ 頂點坐標(biāo)為 (1,4). 當(dāng) 2≤χ≤3時 ,由圖象知 當(dāng) χ=2時 , y最小值 =3。⑶ 若拋物線與 χ軸的兩個交點在(4,0)的兩側(cè) ,試確定 m的取值范圍 . 分析 證明△ 0. : ⑴ 要證明拋物線與 χ軸有兩個交點 ,只需證明△ 0. ⑵ 將已知點的坐標(biāo)代入解析式 ,可求 m的值 。② 2a+b0。② 2a+b0。② 2a+b0。此外 ,作為特殊點的頂點也關(guān)于 χ軸對稱 .當(dāng)然 , 也可以在已知拋物線 C1上任取三點 ,分別求出它們關(guān)于 χ軸的對稱點 ,再求過這三個對稱點的拋物線的解析式 .但沒有上面的解法簡捷 . 解 :拋物線 C1: y=2χ24χ+5=2(χ1)2+3∴ C1的頂點坐標(biāo)為 (1,3).∵ 拋物線 C2與 C1關(guān)于 χ軸對稱 ,∴ C2的頂點坐標(biāo)為 (1,3).且 C2的開口方向與 C1的開口方向相反 ,∴ 它們的二次項系數(shù)互為相反數(shù) .∴ 拋物線 C2的解析式為 y=2(χ1)23. 例 A(1,2),B(0,6),C(2,20),D(1,12).試問是否存在一個二次函數(shù)，使它的圖象同時經(jīng)過這四個點？如果存在 ,請求出它的關(guān)系式；如果不存在，說明理由 . 分析：先求出經(jīng)過 A、 B、 C三點的拋物線的解析式，再驗證點Ｄ是否在所求拋物線上，若在，則存在這樣的二次函數(shù)；若不在，則不存在這樣的二次函數(shù) . 說明：像本例這樣探索同時經(jīng)過四點的拋物線問題可先求出經(jīng)過其中任意三點的拋物線，再驗證第四個點是否在所求的拋物線上． 解 :設(shè)經(jīng)過 A(1,2),B(0,6),C(2,20)的拋物線的解析式為 y=aχ2+bχ+c,則 a+b+c=2 c=6 4a2b+c=20 解得 a=1 b=5 c=6 ∴ 過 A、 B、 C三點的拋物線是 y=χ25x+6 當(dāng) χ=1時 ,y=12.∴ 點 D在這條拋物線上 . ∴ 存在二次函數(shù) y=χ25x+6,它的圖象同時經(jīng)過這四個點 .