【文章內(nèi)容簡介】 !)(k=0， 1， …… 波松分布的定義 35 ? λ 是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。 λ 值愈小分布愈偏倚，隨著 λ 的增大 ，分布趨于對(duì)稱。 ? 當(dāng) λ= 20 時(shí)分布接近于正態(tài)分布； ? 當(dāng) λ=50 時(shí)可以認(rèn)為波松分布呈正態(tài)分布。 ? 在實(shí)際工作中，當(dāng) λ≥20 時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。 波松分布為 離散型隨機(jī)變量 的概率分布，其平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù) λ ，即 波松分布重要的特征 μ=σ 2 =λ 36 圖 不同 λ的泊松分布 37 ? 由波松分布的概率計(jì)算公式可以看出 ， 依賴于參數(shù) λ 的確定 ， 只要參數(shù) λ 確定了 ， 把 k=0， 1， 2， … 代入即可求得各項(xiàng)的概率 。 ? 在大多數(shù)服從波松分布的實(shí)例中 ， 分布參數(shù) λ 往往是未知的 ， 只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為 λ 的估計(jì)值 ， 將其代替計(jì)算公式中的 λ ， 計(jì)算出 k = 0， 1， 2， … 時(shí)的各項(xiàng)概率 。 波松分布的概率計(jì)算 38 【 例 】 為監(jiān)測飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù) ， 共得 400個(gè)記錄如下表。 試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從波松分布？若服從，按波松分布計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將頻率分布與波松分布作直觀比較。 39 經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù) =,方差 S2=。 兩者很接近， 故可認(rèn)為每毫升水中細(xì)菌數(shù)服從波松分布。以 = λ ，得 (k=0,1,2…) 計(jì)算結(jié)果如表所示。 !)( ??? ekkxPkxxμ=σ 2=λ 平均數(shù)采用加權(quán)法計(jì)算 ???? ）（ 1/)( 22 nxxS 如何計(jì)算 40 可見細(xì)菌數(shù)的頻率分布與 λ= 的波松分布是相當(dāng)吻合的 ， 進(jìn)一步說明用波松分布描述單位容積 (或面積 )中細(xì)菌數(shù)的分布是適宜的。 細(xì)菌數(shù)的波松分布 41 注意，二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件也是波松分布的應(yīng)用條件。比如二項(xiàng)分布要求 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，這也是波松分布的要求。 然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因?yàn)槭桌l(fā)生之后可成為傳染源，會(huì)影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合波松分布的應(yīng)用條件。 對(duì)于在單位時(shí)間、單位面積或單位容積內(nèi)，所觀察的稀有事件由于某些原因分布不隨機(jī)時(shí)，如細(xì)菌在牛奶中成集落存在時(shí)，不呈波松分布，不能用波松分布來描述其發(fā)生規(guī)律。 波松分布應(yīng)用條件 42 正態(tài)分布（ normal distribution） ? 正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。 ? 自然現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。如食品中各種成分的含量、有害物質(zhì)殘留量、瓶裝食品的重量、分析測定過程中的隨機(jī)誤差等等。 ? 許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。 ? 因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有十分重要的地位。 （地科 16,928） 43 （ 1） 正態(tài)分布的定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量 x的 概率分布密度函數(shù) 為 其中 μ 為平均數(shù)， σ 2 為方差，則稱隨機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布，記為x～ N(μ,σ 2)。相應(yīng)的 概率分布函數(shù) 為 ? ?????xxdxexF 222)(21)( ? ???222)(21)( ???????xexf(33) 正態(tài)分布的定義及其特征 44 圖 正態(tài)分布密度（函數(shù)）曲線 45 ? 正態(tài)分布密度曲線是單峰、對(duì)稱的懸鐘形曲線，對(duì)稱軸為 x=μ ； ? f(x) 在 x =μ 處達(dá)到極大 ，極大值 ? f(x)是非負(fù)函數(shù)，以 x 軸為漸近線，分布從 ∞ 至 +∞ ； ? 曲線在 x=μ 177。 σ 處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在 (∞,μ σ) 和(μ+σ,+∞) 區(qū)間上是下凸的，在 [μ σ,μ+σ] 區(qū)間內(nèi)是上凸的； ? 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù) μ 和標(biāo)準(zhǔn)差 σ 。 ???21)( ?f（ 2） 正態(tài)分布的特征 46 圖 σ相同而 μ不同的 3個(gè)正態(tài)分布比較 μ 是位置參數(shù)，如圖所示。 當(dāng) σ 恒定時(shí)， μ 愈大，則曲線沿 x軸愈向右移動(dòng)；反之， μ 愈小，曲線沿 x軸愈向左移動(dòng)。 47 圖 36 μ相同而 σ不同的 3個(gè)正態(tài)分布比較大 σ 是形狀參數(shù) ， 如圖示 。 當(dāng) μ 恒定時(shí) ， σ 愈大 ， 表示 x 的取值愈分散 ， 曲線愈 “ 胖 ” ； σ 愈小 ， x的取值愈集中在 μ 附近 ， 曲線愈 “ 瘦 ” 。 48 ? 分布密度曲線與橫軸所圍成的區(qū)間面積為 1，即： 121)( 222)(???????????????dxexPx????? 正態(tài)分布的次數(shù)多數(shù)集中在平均數(shù) μ 的附近，離均數(shù)越遠(yuǎn)，其相應(yīng)次數(shù)越少，在 3σ 以外的極少，這就是食品工業(yè)控制中的 3σ 原理的基礎(chǔ)。 49 正態(tài)分布是依賴于參數(shù) μ 和 σ 2 (或 σ) 的一簇分布，正態(tài)曲線的位置及形態(tài)隨 μ 和 σ 2的不同而不同 。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難， 通常將一般的 N(μ ， σ 2) 轉(zhuǎn) 換為 μ= 0,σ 2=1的正態(tài)分布。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 μ=0,σ 2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (standard normal distribution)。 50 對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布 N(μ,σ 2)的隨機(jī)變量 x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換， u=(xμ )／ σ 將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量 u。 u 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差。 x～ N(μ,σ2) x～ N(0,1) u=(xμ)／ σ 51 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作 ψ(u) 和 Φ(u) dueu uu?????22121)(??222)(21)( ???????xexfμ ＝ 0 σ ＝ 1 2221)( ueu ????52 隨機(jī)變量 u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 u～ N(0， 1)，分布密度曲線如圖所示。 53 （ 1） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè) u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 u在 [u1， u2 ）內(nèi)取值的概率為： ＝ Φ( u2)－ Φ( u1) Φ( u1)與 Φ( u2)可由附表 2查得。 dueduedueuuuP u uu uuuu ?????????? ????? 1 22 221221212121 212121)(??? 正態(tài)分布的概率計(jì)算 54 例如， u=，由 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表 可以查出 Φ()= 有時(shí)會(huì)遇到給定 Φ( u)值 ，例如 Φ( u)=，反過來查 u值。這時(shí)只需在附表中找到與 最接近的值 ，對(duì)應(yīng)查出相應(yīng)的 u值為 u = ，即 Φ( )= 55 【 例 】 已知 u～ N(0， 1)，試求： (1) P(u＜ )＝ ? (2) P (u≥)=? (3) P (｜ u｜ ≥ )=? (4) P(≤ u＜ ) =? 56 (1) P(u＜ )= 1Φ()= (2) P (u≥)=1 Φ()= (3) P (｜ u｜ ≥ ) =2 （ 1Φ() ） =2 = (4) P (≤ u＜ ) =Φ() Φ() == 57 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布