【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 61)61()31()21(1!0 !1!2! 101 ?31)61()31()21(1!1 !0!2! 011 ?41)61()31()21(2!0 !0!2! 002 ? 五、泊松分布 — 二項(xiàng)分布的一種極限分布 二項(xiàng)分布中往往會(huì)遇到一個(gè)概率 p或 q是很小的值，例如小于 ，另一方面 n又相當(dāng)大，這樣的二項(xiàng)分布必將為另一種分布所接近，或者為一種極限分布。這一種分布稱泊松概率分布，簡(jiǎn)稱 泊松分布 ( Poisson distribution )。 令 np=m，則泊松分布如下式： !)( yemyP my ??y=0， 1， 2， … ， ∞ e=… 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。 凡在觀察次數(shù) n相當(dāng)大時(shí)，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)m(m是一個(gè)定值 )很小，那么，這一事件出現(xiàn)的次數(shù)將符合泊松分布。 泊松分布的平均數(shù) 、方差 和標(biāo)準(zhǔn)差 如下式 ： m?? m?2? m? 這一分布包括一個(gè)參數(shù) m，由 m的大小決定其分布形狀如圖 。當(dāng) m值小時(shí)分布呈很偏斜形狀，m增大后則逐漸對(duì)稱。 00 2 4 6 8 10m=m=m=)(yPy 圖 不同 m值的泊松分布 ?2? [例 ] 1907年 Student氏進(jìn)行以血球計(jì)計(jì)數(shù)酵母細(xì)胞精確度試驗(yàn)。如這種計(jì)數(shù)技術(shù)是有效地合適，則在每一平方格的細(xì)胞數(shù)目理論上應(yīng)作為一個(gè)泊松分布。 表 1mm2分為 400個(gè)平方格的結(jié)果?？偣灿?jì)數(shù)的細(xì)胞數(shù)為 1872個(gè)，因之平均數(shù) m=1782/400=。理論次數(shù)須從泊松分布的概率計(jì)算，即從 (p+q)n的極限為： ...)!...!21(1)(2????????? ?? ymmmeeeqpymmmn其中 y=0， 1， 2， 3， … ...!...!212????? ymmmyme是 的泰勒展開(kāi)式 (48) 表 血球計(jì)所計(jì)數(shù)的每平方格內(nèi)酵母細(xì)胞數(shù) 酵母細(xì)胞數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 次 數(shù) … 20 43 53 86 70 54 37 18 理 論 次 數(shù) 酵母細(xì)胞數(shù) 9 10 11 12 13 14 15 16 總 次 數(shù) 10 5 2 2 … … … … 400 理 論 次 數(shù) 本例 m=， e－ m=()－ =，400=. ，其他各理論次數(shù)均可按 (48)計(jì)算。概率值乘以 400得理論次數(shù)。 本例標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為 ? ??? 第三節(jié) 正態(tài)分布 一、二項(xiàng)分布的極限 — 正態(tài)分布 二、正態(tài)分布曲線的特性 三、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 一、二項(xiàng)分布的極限 — 正態(tài)分布 以上述二項(xiàng)分布棉株受害率為例，假定受害概率p=1/2，那么， p=q=1/2?，F(xiàn)假定每個(gè)抽樣單位包括 20株，這樣將有 21個(gè)組，其受害株的概率函數(shù)為 )20(20 5050)( yyy ..CyP ??于是概率分布計(jì)算如下： )21(1)21(20)21(190)21(20)21(1)2121( 202320232023??????????????? 現(xiàn)將這概率分布繪于圖 。從圖 稱的，分布的平均數(shù) 和方差 為： ? 2?=npq=20(1/2)(1/2)=5(株 )2 。 =np=20(1/2)=10(株 )， ?2? 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200 . 0 00 . 0 30 . 0 60 . 0 90 . 1 20 . 1 50 . 1 8圖 棉株受害率 (+)20分布圖（實(shí)線表示二項(xiàng) 式概率分布，虛線表示接近的正態(tài)分布曲線） ?如 p=q，不論 n值大或小，二項(xiàng)分布的多邊形圖必形成對(duì)稱； ?如 p≠q，而 n很大時(shí)，這多邊形仍趨對(duì)稱 。 倘 n或組數(shù)增加到無(wú)窮多時(shí) (n→∞ )，多邊形的折線就表現(xiàn)為一個(gè)光滑曲線。這個(gè)光滑曲線在數(shù)學(xué)上的意義是一個(gè)二項(xiàng)分布的極限曲線 ,屬于連續(xù)性變數(shù)分布曲線 ,一般稱之為 正態(tài)分布曲線 或 正態(tài)概率密度曲線 。可以推導(dǎo)出正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為： ? ?eyf yN ? ?????? 22121)((49) 其中， y是所研究的變數(shù)； 是概率密度函數(shù)； )(yfN? 和 為總體參數(shù)， 表示所研究總體平均數(shù)， 表示所研究總體標(biāo)準(zhǔn)差，不同正態(tài)分布可以有不同的 和 ，但某一定總體的 和 是常數(shù)。 ??? ?? ?? ?2?參數(shù) 和 有如下的數(shù)學(xué)表述 ?????? ???????????? 22 dyyfydyyyfNN)()()(???(410) ?? )( ?? yu令 可將 (49)式標(biāo)準(zhǔn)化為： eu u 22121 ???? )((411) 上式稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布方程，它是參數(shù) 時(shí)的正態(tài)分布 (圖 )。記作 N(0， 1)。 1,0 2 ?? ?? 0 . 00 . 10 . 20 . 30 . 4 %%正態(tài)分布的曲線圖 0 . 00 . 10 . 20 . 30 . 4fN( u )u 6 8 . 2 7 %9 5 . 4 5 %)(yfN ?? 2???? ?? 2? 3 2 1 0 1 2 3 圖 正態(tài)分布曲線圖 (平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ) ??圖 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線圖 (平均數(shù) 為 0，標(biāo)準(zhǔn)差 為 1) ?? 二、正態(tài)分布曲線的特性 1. 正態(tài)分布曲線是以 y = 為對(duì)稱軸，向左右兩側(cè)作對(duì)稱分布，所以它是一個(gè)對(duì)稱曲線。從所豎立的縱軸 f(y= )是最大值，所以正態(tài)分布曲線的算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)是相等的，三者均合一位于點(diǎn) 上。 2. 正態(tài)分布曲線以參數(shù) 和 的不同而表現(xiàn)為一系列曲線，所以它是一個(gè)曲線簇而不僅是一個(gè)曲線。 確定它在橫軸上的位置，而 確定它的變異度，不同 和 的正態(tài)總體具有不同的曲線和變異度，所以任何一個(gè)特定正態(tài)曲線必須在其 和 確定后才能確定。圖 和 。 ? ????? ??? 3 2 1 0 1 2 3 4 5 60 . 00 . 10 . 20 . 30 . 40 . 5yfN( y ) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 60 . 00 . 10 . 20 . 30 . 40 . 5y )(yfN 1?1? ?2? 231?23圖 標(biāo)準(zhǔn)差相同 ( 1)而平均數(shù)不同 ( =0、 = =2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線 ??1?23?圖 平均數(shù)相同 ( 0)而標(biāo)準(zhǔn)差不同 ( = =、 =2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線 ??1?2?3? 3. 正態(tài)分布資料的次數(shù)分布表現(xiàn)為多數(shù)次數(shù)集中于算術(shù)平均數(shù) 附近，離平均數(shù)越遠(yuǎn)，其相應(yīng)的次數(shù)越少；且在 左右相等 | |范圍內(nèi)具有相等次數(shù)；在 | |≥3 以上其次數(shù)極少。 4. 正態(tài)曲線在 | |=1 處有“拐點(diǎn)”。曲線兩尾向左右伸展，永不接觸橫軸，所以當(dāng) y→ 177。 ∞，分布曲線以 y軸為漸近線，因之曲線全距從－ ∞到 +∞。 5. 正態(tài)曲線與橫軸之間的總面積等于 1，因此在曲線下橫軸的任何定值，例如從 y=y1到 y=y2之間的面積，等于介于這兩個(gè)定值間面積占總面積的成數(shù)，或者說(shuō)等于 y落于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。 ? ???y ??y???y? 正態(tài)曲線的任何兩個(gè) y定值 ya與 yb之間的面積或概率乃完全以曲線的 和 而確定的。詳細(xì)數(shù)值見(jiàn)附表 2，下面為幾對(duì)常見(jiàn)的區(qū)間與其相對(duì)應(yīng)的面積或概率的數(shù)字： ?區(qū)間 177。 1 面積或概率 = 177。 2 = 177。 3 = 177。 = 177。 = ???? 例如，上章水稻 140行產(chǎn)量資料的樣本分布表現(xiàn)出接近正態(tài)分布，其平均數(shù) ( )、標(biāo)準(zhǔn)差 (s)以及離均差為 2和 3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間所包括的次數(shù)列于表 。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與正態(tài)分布的理論結(jié)果很相近。 yy177。ks 數(shù)值 (g) 區(qū)間 (g) 區(qū)間內(nèi)包括的次數(shù) 次數(shù) % 177。1s 177。 ～ 99 177。2s 177。 ～ 134 177。3s 177。 ～ 140 0 表 140行水稻產(chǎn)量在 177。 1s， 177。 2s， 177。 3s范圍內(nèi)所包括的次數(shù)表 yyyyyy 三、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 在正態(tài)分布曲線下， y的定值從 y=a到 y=b間的概率可用曲線下區(qū)間的面積來(lái)表示，或者說(shuō)，用其定積分的值表示，如圖。 ? ?? ????? baydybyaP e ????22121)((413) 同樣可以計(jì)算曲線下從 － ∞到 y的面積，其公式如下： ? ??? 0)( 0 y NN dyyfyF )((414) 這里 FN(y)稱為正態(tài)分布的累積函數(shù)，具有平均數(shù) 和標(biāo)準(zhǔn)差 。 ?? A=P(ayb) fN(y) 圖 正態(tài)分布密度函數(shù)的積分說(shuō)明圖面積 A=P(ayb) 現(xiàn)如給予變數(shù)任何一定值，例如 a，那么，可以計(jì)算 y≤a的概率為 FN(a)，即 )()( aFayP N??(415) 如果 a與 b(ab)是 y的