003理論分布與抽樣分布28(編輯修改稿)
2025-03-11 14:23 本頁面
【文章內容簡介】 x(x=k)只取零和正整數值 0， 1， 2， … ，且其概率分布為 ， k=0， 1， 2， …… 其中 λ＞ 0； e=… 是自然對數的底數，則 稱 x 服從參數為 λ的泊松分布 (Poisson’s distribution)，記為 x～ P(λ)。 泊松分布的定義及特點 ? 泊松分布作為一種 離散型隨機變量 的概率分布，理論上已經證明其均值與方差相等、即 μ＝ σ2＝ λ這是泊松分布的一個顯著特點 。利用這個特點可以初步判斷一個隨機變量是否服從泊松分布。 泊松分布的定義及特點 ? λ是泊松分布小所依賴的惟一參數， λ越小分布越偏，隨著 λ的增加，分布趨于對稱。 泊松分布的概率計算 【 例 31】 食品店每小時光顧的顧客人數服從 λ＝ 3的泊松分布，即 x～ P（ 3）分布。 (1)計算每小時恰有 5名顧客的概率。 (2)lh內顧客不超過 5人的概率。 (3)lh內顧客最少有 6人的概率。 泊松分布的概率計算 解：設 x表示商店每小時接待顧客的人數 ① P(x=k=5)= ② P(x=k≤5)= ③ P(x=k≥6)= !53!35???? ekek ?? !50????kkke ???????????6)5(1!kkkxPke?? 泊松分布的概率計算 【 例 32】 已知某食品廠每月某種食品原料的用量服從 λ ＝ 7的泊松分布，為了不使該原料庫存積壓過多，又不致發(fā)生短缺，問每月底庫存多少才能保證下月原料不缺的概率 P≥ 。 泊松分布的概率計算 解：設每月用量為 x，上月底庫存量為 a，根據題 意有： P(x≤a) ≥，因為 x～ P（ 7）， 故上式為： p(x=k≤a)= 解得 a＝ 16，即該食品廠在月底庫存 16就可有％得把握保證下月原料不缺。 !707????akkke 泊松分布的應用條件 1. 泊松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發(fā)生在單位時間或空間里的稀有事件的概率分布。 2. 在二項分布中，當試驗的次數 n很大，試驗發(fā)生的概率 P很小時， x～ B（ n， p） 可用 x～ P(λ )代替，用 λ ＝ nP進行有關計算。 3. 總體來看，二項分布的應用條件也就是應用泊松分布所要求的。 4 正態(tài)分布 ? 正態(tài)分布 (normal distribution)是一種常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布。 ? 食品科學研究中所涉及的許多變量都是服從或接近正態(tài)分布的，如食品中各種營養(yǎng)成分的含量，有害物質殘留量，瓶裝食品的重量、容積、分析測定過程中的隨機誤差等。 若連續(xù)型隨機變量 x的概率分布密度函數為 其中 μ為平均數， σ2為方差，則稱隨機變量 x服從正態(tài)分布， 記為 x～ N(μ,σ2)。相應的概率分布函數為 分布密度曲線如圖所示。 正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線， 對稱軸為 x=μ； f(x) 在 x =μ處達到極大，極大值 ； f(x)是 非負函數 ，以 x軸為漸近線， 分布從 ∞至 +∞，且曲線在 μ177。 σ處各有一個拐點 ； 正態(tài)分布有兩個參數，即平均數 μ和標準差 σ。 σ是變異度參數， 如圖所示 。 當 μ恒定時， σ愈大，表示 x 的取值愈分散， 曲線愈“胖”； σ愈小， x的取值愈集中在 μ附近，曲線愈“瘦”。 μ是位置參數，如圖所示。 當 σ恒定時， μ愈大，則曲線沿 x軸愈向右移動；反之，μ愈小，曲線沿 x軸愈向左移動。 分布密度曲線與橫軸所夾的面積為 1，即： 標準正態(tài)分布 由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數 μ和 σ2 (或 σ) 的一簇分布，正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨 μ和 σ2的不同而不同。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難，需將一般的 N(μ， σ2) 轉換為 μ= 0,σ2=1的正態(tài)分布。 我們稱 μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布 (standard normal distribution)。 標準正態(tài)分布 標準正態(tài)分布的概率密度函數及分布函數分別記作 ψ(u)和 Φ(u)，由 f(x)及 F(x) 式得： 隨機變量 u服從標準正態(tài)分布，記作 u～ N(0，1)，分布密度曲線如圖所示。 標準正態(tài)分布 對于任何一個服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機變量x，都可以通過標準化變換： u=(xμ)／ σ 將其變換為服從標準正態(tài)分布的隨機變量 u。 u 稱為標準正態(tài)變量或標準正態(tài)離差 (standard normal deviate)。 正態(tài)分布的概率計算 設 u服從標準正態(tài)分布，則 u 在 [u1,u2 ）內取值的概率為： ＝ Φ(u2)－ Φ(u1) 而 Φ(u1)與 Φ(u2)可由附表 1查得。 正態(tài)分布表 正態(tài)分布表 由 P(u1≤ u ＜ u2 ) ＝ Φ(u2)－ Φ(u1)式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關系式，再借助附表 1，便能很方便地計算有關概率： P(0≤u＜ u1)＝ Φ(u1)
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