抽樣推斷(編輯修改稿)
2025-03-25 22:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??? ?? ? ? ???? ???? 1??21P? )10( ?? nXXX , 21 ? ? 則稱區(qū)間（ ）為 的置信水平為 的置信區(qū)間，稱 為估計的顯著性水平。 分別為上下置信限。 21 ?? ??，? ??? 21?,? ??? 評價區(qū)間估計的兩個標準： ? (1)估計的可靠度 ? 置信度 反映了區(qū)間估計的可信度。置信水平 =，說明估計區(qū)間（ ）以 95%的概率包含總體的參數(shù) 。或者說， 100個這樣的估計區(qū)間中，平均有 95個包含了總體參數(shù) ； ? (2)估計的精確度 ? 區(qū)間的長度 反映了區(qū)間估計的精確度。當區(qū)間的長度愈大，估計區(qū)間包含真值 的可能性也就愈大，但是估計也愈不精確。 ? 可靠度和精確度是相互矛盾的。 ??1 ??1 2?? ??，? 12 ?? ??? ? 步驟： ? 首先，構(gòu)造一個與待估計參數(shù) 有關(guān)的統(tǒng)計量 T； ? 其次，找出統(tǒng)計量的分布，在一定的置信水平下， 給出臨界值； ? 最后，計算總體參數(shù)的置信區(qū)間。 ?? 總體平均數(shù)的區(qū)間估計 ? 根據(jù)估計條件的不同，估計的公式也不一樣，也就是說，要根據(jù)是否知道總體的分布、是否知道總體的方差、是大樣本還是小樣本，是重復抽樣還是不重復抽樣來確定。參數(shù)估計的基礎(chǔ)是抽樣分布理論。 ? (1)樣本取自總體方差已知的正態(tài)分布 ? 如果樣本來自正態(tài)分布總體，即： 則： ),(~ 2??NX ),(~2nNx?? 經(jīng)變換， 服從標準正態(tài)分布，即 xxz???? )1,0(~ Nxzx????進行總體均值的置信區(qū)間估計，就是要求得， ???? ???? 1)( 21p對于標準正態(tài)分布，就是要求得， ?? ? ?? ?????? 1)(22zxzpx由此可以推出， xx zxzx ??? ??22????在重復抽樣的情況下， nx?? ? 由此可以推出， nzxnzx?????22????故所求的 100（ 1α） %的置信區(qū)間為 ),(22 nzxnzx ?? ?? ??記 表示以樣本指標 為中心向左、向右的最大誤差，稱為極限誤差或允許誤差。 nZZ xx????22???x在進行不重復抽樣時， 1???NnNnx?? ? 例 某保險公司欲了解某個險種投保人的平均年齡，隨機抽取 24人，計算出 24人的平均年齡為 39歲，總體標準差 。試以 95%的置信度估計該險種投保人的平均年齡。已知投保人的年齡 , 且 已知， 是 X的一個樣本 。 ? 解： ? 由樣本得樣本均值 ，標準差 = 對于給定的置信度 95%，有 =值 。 所以有： ? 投保人的年齡以 95%的可靠程度在 ),(~ 2??NX nXX , 21 ?2?39?X? ?z?????? ???? ，）， ( ??? ),( ? (2)樣本取自總體方差已知的非正態(tài)分布 ? 根據(jù)中心極限定理，對于非正態(tài)分布總體，當樣本容量 n足夠大時，無論總體服從什么分布， 的抽樣分布都近似服從正態(tài)分布。因此，仍可以用 或 來近似求出非正態(tài)分布總體的均值 μ 的置信區(qū)間。 x )( 2 xzx ??? )( 2 nzx???? (3)總體方差未知且小樣本時 (正態(tài)分布 ) ? 上述方法只能在總體標準差 σ已知的情況下才能使用。若總體服從正態(tài)分布，標準差 σ不知道，則要用樣本的方差 來代替總體方差 建立置信區(qū)間。這時，新的統(tǒng)計量不服從標準正態(tài)分布，而是服從自由度為n1的 t分布。 21?ns 2? 所以構(gòu)造， nsxsxt xxx/?? ????它服從自由度為 n1的 t分布。 因此 μ的置信區(qū)間為 ))1((2xsntx ?? ?或 ))1((2 nsntx ???例 某手表廠生產(chǎn)的精益牌手表 ,其走時誤差為正態(tài)分布 ,(單位 :秒 /日 )。檢驗員從裝配線上隨機抽出 9只進行檢驗，檢測的結(jié)果如下： ,, 取置信水平為 ,求該品牌手表的走時 ,誤差的均值和方差的置信區(qū)間。 解： 9 1 ??????? ??i ixx ?19)( 291 ??????ii xxS )8( ?t 置信區(qū)間為nsntx )1(2 ?? ? 9 ??? ?（ 4）總體方差未知且大樣本時 ? 若 ，則可用正態(tài)分布來近似 t分布，即均值 μ的置信區(qū)間為 或 來近似求出非正態(tài)分布總體的。 30?n )( 2 xzx ???( 2 szx ??? 總體成數(shù)的區(qū)間估計 ? 設(shè)從成數(shù)為 P的總體 X中隨機抽出容量為 n的樣本，其中 是樣本中具有某種統(tǒng)計特性的單位的數(shù)量，則樣本的成數(shù)為 。 樣本成數(shù)的抽樣分布服從平均值為 p，標準差為 的正態(tài)分布。在給定的置信度下 ，總體成數(shù)的置信區(qū)間為 ： 1 nnp 1??? )1(~ ppp ??? ?????? ????nPPzpnPPzp ）（， 1)1(22 ?? 在估計總體的成數(shù)時，總體的成數(shù)是未知的，所以在置信上下限中的 P可以用樣本成數(shù)代替，當樣本容量足夠大，誤差很小。 例 為了研究我國所生產(chǎn)的絲綢產(chǎn)品在國外的銷路，
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